
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ロピタルの定理を適用
与式=f(n)とおくと、
f(n)
=lim(x→0)(log|x|)^n/(1/x)
=lim(x→0){n(log|x|)^(n-1)・1/x}/{-1/x^2}
=-nlim(x→0){x(log|x|)^(n-1)}
=-nf(n-1)
f(1)=-lim(x→0){x}=0
∴f(n)=0
No.2
- 回答日時:
ロピタルが(∞/∞型は特に)好きでない人向け :
y = -log|x| と置くと、
| lim[x→0] x・(log|x|)↑n) |
= lim[y→+∞] |x|・|-y|↑n
= lim[y→+∞] (y↑n)/(e↑y).
y>0 のとき、任意の自然数 m に対して、
e↑y = Σ[k=0→∞] (y↑k)/(k !) > (y↑m)/(m !)
だから、m > n であるように m をとれば、
|与式| < lim[y→+∞] (m !)/(y↑(m-n))
= 0.
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