解法が思いつきません。よろしくお願いします。

解法が思いつきません。よろしくお願いします。

X,Yに対しXからYへの全単射を与えよ。

(1)　X=(－1，1)×(-1，1)　Y=｛(ｘ，ｙ)｜ｘ＾２＋ｙ＾２＜１｝

（2）　X=｛(ｘ，ｙ)｜ｘ＾２＋ｙ＾２＜１｝　Y=｛(ｘ，ｙ)｜ｘ＾２＋ｙ＾２≦１｝

よろしくお願いします。

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2010/06/26 22:16

代数学まで行ってあるようですから、外積はダイジョウブでしょう。

　＃必要だったらいってください。調べてみてもあると思うよ。

解答書いてもしょうがないから。

恒等式の考え方でいけると思うよ。

（２）はしんどいかもしれないけど、ｘ，ｙを局座標表記に変えて、

ｒ，θ　かなにかに変えて、やったほうが早いかな？　一緒かな？

全単射だと示せばいいんだから、恒等式みたいに見た方が少し楽かも。

ぱっと見、一目だから、こね回すと、難しくなるよ。

代数学屋より　ｍ（＿　＿）ｍ

No.2 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2010/06/26 23:17

(1) は、連続写像でできますね。

単純に、偏角はそのままにしてｒだけを変えればよいと思います。
具体的には、
X上では、(rcosθ,rsinθ)と書いたとき、0 ≦ r ＜ 1/max(|cosθ|,|sinθ|) ですから、
これをY上の0≦r＜1になるように写せばよいと思います。

(2)は連続写像では不可能です。（連続写像では開集合の逆像は開集合なので、全単射にはできません）
というわけで、連続写像ではない関数を考えないといけません。
具体的には、
X上のr=1/2 ⇔ Y上のr=1
X上のr=1/n (n>2以上の整数） ⇔ Y上のr=1/(n-1)
それ以外なら、X=Y
とか。