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- 回答日時:
T,V が独立変数になっています.
(1) U = Vu(T)
(2) p = (1/3)u(T)
で,u(T) も p も V によらないのが特徴です.
(3) (∂U/∂V)_T = T(∂p/∂T)_V - p
に(1)(2)を代入しますと
(4) T(du/dT) - 4u = 0
になり,積分して
(5) u(T) = aT^4 (a は定数)
が得られます.
u(T) と p(T) がわかりましたから,
熱力学第一法則の式に入れれば d'Q が求まります.
あとはなんとかなるでしょう.
(3)は一般に成り立つ式です.
(6) dU = T dS - p dV
の両辺を V で偏微分した(T 一定)
(7) (∂U/∂V)_T = T(∂S/∂V)_T - p
と Maxwell の関係式
(8) (∂S/∂V)_T = (∂p/∂T)_V
を使えば直ちに導出できます.
この系は輻射場(光子気体)です.
u が T^4 に比例するのは Svtefan-Boltzmann 則に他なりません.
気体定数の R が現れる余地はありません(光子気体は数が不定です).
どういう計算をされたかわかりませんが,
結果に R が現われたということは,計算の途中で(無意識に?)理想気体の場合に
成り立つ式を使ってしまっているということを示唆しています.
この種の間違いは熱学を教えているとしょっちゅう目にします.
つまり,ある式が
○ 定義なのか?
○ いつでも(どんな系でも,あるいはどんな過程でも)成り立つ式なのか?
○ 特別な系,あるいは過程について成り立つ式なのか?
の区別がはっきりしていないのでしょう.
あるいは,テキストの前後関係をよく見ずに使えそうな式を拾って来る,など.
こういう現象は熱学に限ったことではないですが,
熱学は特にいろいろな式が出て来ますのでよく見かけます.
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