複素数

〔(1+√3i)/(1+i)〕＾12を簡単に表すにはどうすればいいのでしょうか？
i＾2=-1なのはOKです。

No.9 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/19 15:09

ai402さん、こんにちは。

＃６fushigichanです。

＞すいません。
＜これを２乗すると
{(1+√3i)/(1+i)}^2=={{(1+√3)+(√3-1)i}/2}^2
=(1/4){(1+√3)^2+2(1+√3)(√3-1)i +(√3-1)^2i^2}
=(1/4){4√3+4i}
=√3+i・・・(1)

これをさらに２乗すると、
(1+√3i)/(1+i)^4=(√3+i)^2=3+2√3i+i^2
=2+2√3i
=2(1+√3i)・・・(2)
の部分が計算が合わなくて。
もうすこし、途中式を含めてもらってもいいですか？


ということですが、どの部分が分かりにくいでしょうか？
最初の、分母の有利化のところまでは、いいですか？
(1+√3i)/(1+i)=(1+√3i)(1-i)/(1+i)(1-i)←分母の有利化
={1-i+√3i-√3i^2}/(1-i^2)
={(1+√3)+(√3-1)i}/2

ですから、(1+√3i)/(1+i)=x　とおくと、
x={(1+√3)+(√3-1)i}/2 =a+biの形。

a=(1+√3)/2,b=(√3-1)/2・・・（☆）
ここまでは、よろしいでしょうか。

さて、これを２乗すると、

x^2=(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=a^2+2abi-b^2
となることは、いいですね。
あとは、（☆）から、a^2,b^2,abを計算して、あてはめてみてください。

x^2=√3+i
のように、簡単になることが、分かると思います。
計算は、頑張って！！

次に、
x^4=(x^2)^2=(√3+i)^2=3+2√3i+i^2=2+2√3i
x^4=2(1+√3i)

だということが分かると思います。
これで、x^2とx^4が出ました。
x^6=x^2*x^4ですから、掛け合わせてみれば、

x^6=8i
と求められます。このへんは、数学１の数式の展開と同じですから
一つ一つ、ミスしないようにゆっくりやってみてくださいね。

さて、ここまでくれば、
x^12=(x^6)^2=(8i)^2=-64

という風に答えに結びつきます。

複素座標系については、三角関数を習っていないとすると
とてもこのスペースでは説明できませんが、簡単に言うと
x軸とのなす角度と、(x,y)ベクトルの長さでもって、
この座標は表されます。
x=rcosθ
y=rsinθ
ただし、θは、ベクトル(x,y)とx軸とのなす角度（ラジアン）
また、r=√(x^2+y^2)

これの応用で、複素数z=(1+√3i)/(1+i)も、
z=acosθ1+bisinθ
と表されることを使っています。

頑張ってください！！

No.8 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/18 20:55

ai402さん、こんばんは。

＃６fishigichanです。
ちょっと補足にきました。

大変高度で素晴らしい回答が＃１＃２＃４で出ていますが、
これは、複素座標を使った解法です。

複素数は、

z=a+bi

の形をしています。この
a:実部、b:虚部
といいます。
このとき、
√(a^2+b^2)を、この複素数zの絶対値といい、|z|と表します。

複素座標とは、このように実部と虚部で表された複素数を
x-y平面上の点として表そうということです。
z=a+bi
という複素数は、点(a,b)として表されます。
このとき、横軸はx,縦軸はyiです。

さらに、このことと、数学(3)で学ぶ三角関数の合成の知識をもって
この回答を理解することができると思います。
ai402さんは、まだ習っていないと思いますから、今は理解できなくても大丈夫です。

また、複素座標についても、高校レベルを超えていますから
理解できなくても、「こういう考え方もあるんだなあ」くらいに思っておかれたら大丈夫です。

高校１年２年の問題としては、私が＃６で回答しましたように
地道に２乗と４乗から考えていくのが、最も確実で理解しやすいかと思います。

ご参考になればうれしいです。
頑張ってください。

参考URL：http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/Lecture2.html

この回答への補足

ありがとうございます。
r e^{iθ} = r cos θ + i r sinθ
の方法を使う計算方法も知りたいです。
教えてくれますか？
興味があります。
覚えると簡単そうなので。

補足日時：2003/07/19 14:16

No.7 回答者： neue_reich 回答日時： 2003/07/18 17:14

SB77さんの解法と私の解法が異なっていることへのフォローです。

２つの解法の違いは使っている定理（公式）の差だけです。

ド・モアブルの定理は三角関数をそのまま利用して
ｎ乗の計算結果を算出するのに便利です。
ただ、これだと角度が巨大な値になってしまいますので
計算ミスがでやすくなります。

オイラーの公式の場合、cosθ+isinθ　を　e^iθ　で
表現するので係数と指数だけ計算すればよいという手法です。
しかし、三角関数に慣れていないとミスしやすいです。

いずれにしても、途中経過が異なるだけ（三角関数を計算
するところは同じ。変形するかしないかの差だけ）ですので、
（間違いがなければ）計算結果は同じですし、
この手の問題の模範解答ではどちらもありうる解法です。

No.6 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/18 17:03

ai402さん、こんにちは。

まずは、
(1+√3i)/(1+i)を簡単にすることから始めましょう。

(1+√3i)/(1+i)=(1+√3i)(1-i)/(1+i)(1-i)←分母の有利化
={1-i+√3i-√3i^2}/(1-i^2)
={(1+√3)+(√3-1)i}/2

これを２乗すると
{(1+√3i)/(1+i)}^2=={{(1+√3)+(√3-1)i}/2}^2
=(1/4){(1+√3)^2+2(1+√3)(√3-1)i +(√3-1)^2i^2}
=(1/4){4√3+4i}
=√3+i・・・(1)

これをさらに２乗すると、
(1+√3i)/(1+i)^4=(√3+i)^2=3+2√3i+i^2
=2+2√3i
=2(1+√3i)・・・(2)

なので、(1)(2)をかけあわせると、(1+√3i)/(1+i)を６乗したものになる。

(√3+i)*2*(1+√3i)
=2(√3+i)(1+√3i)
=2{√3+3i+i+√3i^2}
=2*4i
=8i

{(1+√3i)/(1+i)}^12はこれを２乗したものですから、
{(1+√3i)/(1+i)}^12=(8i)^2=64*(-1)=-64

となると思います。
２乗を考えていくといいですね。

この回答への補足

すいません。
＜これを２乗すると
{(1+√3i)/(1+i)}^2=={{(1+√3)+(√3-1)i}/2}^2
=(1/4){(1+√3)^2+2(1+√3)(√3-1)i +(√3-1)^2i^2}
=(1/4){4√3+4i}
=√3+i・・・(1)

これをさらに２乗すると、
(1+√3i)/(1+i)^4=(√3+i)^2=3+2√3i+i^2
=2+2√3i
=2(1+√3i)・・・(2)
の部分が計算が合わなくて。
もうすこし、途中式を含めてもらってもいいですか？

補足日時：2003/07/19 14:14

No.5 回答者： SB77 回答日時： 2003/07/18 16:56

すみません。

間違えました。
〔(1+√3i)/(1+i)〕＾12
={2^12(cos12・60°+isin12・60°)}/{√2^12(cos12・45°isin12・45°)}
={4096(cos720°+isin720°)}/{64(cos540°+isin45°)}
={4096(1+0i)}/{64(-1+0i)}
=-64

でもneue_reichさんとはちがいますね。多分私が間違ってるのかな。
間違ってたらすみません。

No.4 回答者： noname#7693 回答日時： 2003/07/18 16:51

1+√3i=2(cos60°+isin60°)

1+i=√2(cos45°+isin45°)

ドモアブルの定理より
(1+√3i)^12=2^12{cos(12*60°)+isin(12*60°)}
(1+i)^12=(√2)^12{cos(12*45°)+isin(12*45°)}

2/√2=√2だから
(2/√2)^12=64

cos(12*60°)+isin(12*60°)=1+0i
cos(12*45°)+isin(12*45°)=-1+0i

これより、
〔(1+√3i)/(1+i)〕＾12=64*(-1)=-64

No.3 回答者： neue_reich 回答日時： 2003/07/18 16:47

＃１です。

(√2e^i(1/12π))^12=√2e^iπ
ではなく
(√2e^i(1/12π))^12=64e^iπ
でした。
（√2を１２乗し忘れました）

訂正します。

（複素数表示は-64となります）

No.2 回答者： SB77 回答日時： 2003/07/18 16:40

まず、〔(1+√3i)/(1+i)〕＾12を極形式に表すと

[2{cos30°+isin30°}/√2{cos45°+isin45°}]|^12
となり、ド・モアブルの定理から
={2^12(cos12・30°+isin12・30°)/√2^12(cos12・45°+isin12・45°)となりますので、
{4096(cos360°+isin360°)/64(cos540°+isin540)}
={4096(1+0i)/64(-1+0i)}
=-64

だと思います。

誤り等ありましたらすみません。

No.1 回答者： neue_reich 回答日時： 2003/07/18 16:35

まずは、オイラーの公式を調べましょう。

オイラーの公式を使うと、(1+√3i)と(1+i)を
2e^i(1/3π)　と　√2e^i(1/4π)　に変換できるはずです。
（計算違いでなければ、ですが…）

変換した値を元の分数に当てはめて整理すると、
　(√2e^i(1/12π))^12=√2e^iπ
もし、複素数で表示したければ、-√2　となるはずです。