微分方程式の一意性

微分方程式の一意性

下の写真の問題ですが、どのようにしたら一意でないこと、解が無限にあることをを示せるかわかりません。ヒントを頂ければと思います。

No.4 ベストアンサー 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/27 14:14

今度こそ大丈夫！・・・なはずです。

いちおう検算しました。

ある 0 < Tを固定します。

T < t のとき
x = y^2.
dy/dt = 1.
y = t + C.
x = (t + C)^2.

0< t ≦ T のとき
x = 0.
これで、初期条件を満たす。

この区間ごとに定義したxが0<tで微分可能であるためには t = Tで微分可能であること。
x = Tでの左側微分は0、右側微分は 2T + 2C、よって C = -T。
よって
x=
0, (0 ≦ t ≦ T)
(t - T)^2, (T < t)
は解である。
0<Tは任意だから、無限個の解をもつ。

負の方向についても同様。

参考URL：http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/ode.pdf

この回答へのお礼

何度も回答ありがとうございます。とても分かりやすかったです！！

お礼日時：2010/07/27 19:05

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/07/27 13:50

リプシッツ不連続でよく出される例みたいですね。

　　　↓ 参考URL
>3.1.3 解の一意性

　　

参考URL：http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/20 …

この回答へのお礼

とても参考になるページありがとうございます。リプシッツ不連続の１例なのですね。

お礼日時：2010/07/27 19:03

No.2 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/27 13:43

　No1.です。

違いますね。勘違いしていました。

No.1 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/27 13:02

x(t) = (y(t))^2e^{iθ}

とおいて、微分方程式を変形して解いてみてください。