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No.3
- 回答日時:
大学生は、No.2 で ok ですね。
級数を項別微分するためには、一様収束していることが必要ですが、
ベキ級数なら、収束半径の中では、一様絶対収束ですからね。
高校生なら、S[n] = Σ[k=1…n] k・(5/6)^k と置いて、
S[n+1] - (5/6)・S[n] = Σ[k=1…n+1] k・(5/6)^k - (5/6) Σ[k=1…n] k・(5/6)^k
= 1・(5/6)^1 + Σ[k=1…n] (k+1)・(5/6)^(k+1) - Σ[k=1…n] k・(5/6)^(k+1)
= 1・(5/6)^1 + Σ[k=1…n] (5/6)^(k+1)
= 5/6 + (5/6)^2・{ 1 - (5/6)^n }/{ 1 - (5/6) }
= 30/6 - 5・(5/6)^(n+1)
これは定石。
この式を
(S[n+1] - 30)/(5/6)^(n+1) - (S[n] - 30)/(5/6)^n = -5
と変形することに気づけば、
(S[n] - 30)/(5/6)^n - (S[1] - 30)/(5/6) = -5(n-1)
すなわち、
S[n] = (S[1] - 30)(5/6)^(n-1) - 5(n-1)(5/6)^n + 30
よって、
lim[n→∞] S[n] = 0 - 0 + 30
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