n正の整数、a実数、すべての整数mで
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0
を満たすaの範囲をnで表せ。
次のように考えました。
(1)判別式<0としましたが、mが実数だとこれで良いと思うが
整数なので、補正が必要になるので、しかもそれは煩雑なので
この考えを捨てる。
(2)a>(2n+1)(m^2+m)/(2nm-n^2+n) ただし2nm-n^2+n<0
同様に2nm-n^2+n>0のときのグラフも考える。
とし、右辺のグラフから、そのグラフの最大値を考えようとしました。
しかし、これも収拾がつかない。
(3)因数分解ができないか、これはできない。
等々かんがえましたが、どんな解法になるのかわかりません
よろしくおねがいします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
判別式=(a-1)^2-4an^2/(2n+1)
=a^2-{2+4n^2/(2n+1)}a+1
=a^2-{(2n+1)+1/(2n+1)}a+1
={a-(2n+1)}{a-1/(2n+1)}<0
より
1/(2n+1)<a<2n+1
a≧(2n+1)のとき、m=nとすると
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)=n(n+1){1-a/(2n+1)}≦0
a≦0のとき、m=0とすると
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)=an^2/(2n+1)≦0
0<a≦1/(2n+1)のとき、
{m-(a-1)/2}^2-(a-1)^4/4+an^2/(2n+1)
より最小になるのは、m=(a-1)/2のときであるが、
-1/2<(a-1)/2≦-n/(2n+1)<0
なので、m=0のとき最小になる(放物線の軸がm=0に近いので)。
よって最小値は、
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)=an^2/(2n+1)
よりa>0なら、m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0
以上より、
0<a<2n+1
大変ありがとうございます。
考えていましたが、分からなくてもやもやしていました。
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0とならない部分を
考えていくという方針が参考になりました。
正面突破でなくて、周りから攻めるといった感じかと
思います。納得いく解答ありがとうございます。
No.3
- 回答日時:
n正の整数
X={a|a実数,∀整数m→f(m,a,n)=m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0}
Y={a|a実数,0<a<2n+1}
a∈Xとする
m=0のとき
f(0,a,n)=an^2/(2n+1)>0だからa>0
m=nのとき
f(n,a,n)=(2n+1){n^2-(a-1)n}+an^2=n(n+1)(2n+1-a)>0だから a<2n+1
0<a<2n+1
a∈Y
X⊂Y
a∈Y
0<a<2n+1
0<a≦1のとき
m<m+1-a<1+m
m≧0のとき0≦m^2≦m(m+1-a)=m^2-(a-1)m
m<0のとき0≦(-1-m)(-m)<(a-m-1)(-m)=m^2-(a-1)m
f(m,a,n)=m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0
a∈X
1<a<2n+1のとき
(2n+1)(a-1)^2-4an^2
=(2n+1)a^2-2a(2n+1)-4an^2+2n+1
=(2n+1)a^2-2a(2n^2+2n+1)+2n+1
=(2n+1){a^2-2a(2n^2+2n+1)/(2n+1)+1}
=(2n+1){a-(2n+1)}{a-1/(2n+1)}
<0
↓
4an^2-(2n+1)(a-1)^2>0
↓
(m-(a-1)/2)^2-(a-1)^2/4+an^2/(2n+1)>0
↓
f(m,a,n)=m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0
a∈X
Y⊂X
X=Y
∴
0<a<2n+1
ありがとうございます。
Y={a|a実数,0<a<2n+1}
これをどうやって、もとめたのかよく分かりませんでした。
簡単に言うと、0<a<2n+1はm^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0}であるため
必要十分条件を示しているのでしょうか。
No.2
- 回答日時:
> 補正が必要になるので
↑ x が整数のとき、x^2 + x の最小値は? とか、
そういうことを考えているんですよね。 だったら、
判別式へ持ち込まないで、二次関数の最小値の話にすればいい。
f(m) = m^2 - (a-1)m + an^2/(2n+1) を平方完成して
f(m) = { m - (a+1)/2 }^2 + { - (a+1)^4/4 + an^2/(2n+1) } だから、
f(m) の最小値は、m = [ (a+1)/2 ] または m = [ (a+1)/2 ] + 1 のとき。
最小値が正であれば、全ての m で f(m) > 0 と言えるから、
f( [ (a+1)/2 ] ) > 0 かつ f( [ (a+1)/2 ] + 1 ) > 0 となるような
a の範囲を求めればよい。 ただし、[ ] は、実数の整数部分を表す。
(a+1)/2 の整数部分を k、小数部分を x と置いて、
0 ≦ x < 1 の範囲に x の解があるような k を求める。
この回答への補足
お礼の追伸
f( [ (a+1)/2 ] ) > 0 かつ f( [ (a+1)/2 ] + 1 ) > 0 となるような
a の範囲を求めればよい。
これ以後の解答を考えてみましたが、よく分かりません。
できれば、解答をおねがいします。
ありがとうございます。
f( [ (a+1)/2 ] ) > 0 かつ f( [ (a+1)/2 ] + 1 ) > 0 となるような
a の範囲を求めればよい。
ここまでは理解できました。
あとは、そのためには、どう考え、どんな計算をしていくかが
見えていません。
> 0 ≦ x < 1 の範囲に x の解があるような k を求める。
文字がいろいろ入ってくるとどんな条件関係になってくるのか、理解できなくなってきます。
考えたいとおもいます。
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