数学I 二次方程式について次の問題の解き方と答えを教えて下さい。

数学I 二次方程式について次の問題の解き方と答えを教えて下さい。

二次方程式　ｆ(x)=x^2+ax+b=0が次のような解を持つための条件をa,bを用いて表せ。

(1) すべての解が1より大きい。

(2) 2解の間に1がある。

(3) 2解のうち1つが1で、他の解が2以上である。

(4) 1より大きい解を持つ。

(5) すべての解が-1<x<1となる。


よろしくお願いします。

No.5 回答者： yudai2201 回答日時： 2010/09/16 20:44

それぞれの場合についてグラフで図示して条件の意味を考えてください。

二次関数の問題ではそれが絶対条件です。
この問題では、条件にあるx=1,-1、あとグラフとx軸との交点について意識して書いてください。

解答ですが、y=f(x)のグラフは下に凸です。その上で、f(x)=0の判別式をDとし、またf(x)=(x+1/2a)^2-1/4a^2+bよりf(x)の軸はx=-1/2aであることを示します。
(1) すべての解が1より大きい。
相異2実解を持つ必要があるので、D≧0
f(x)の軸がx=1より右になければいけないので、-1/2a>1
x=1より右に軸があっても、x<1に解がある場合があるのでf(1)>0を示す
最後の条件で、グラフが軸より左では単調減少になることから、k<1においてf(k)>0となり、その範囲に解が存在しないことがいえます。

(2) 2解の間に1がある。
f(1)<0だけで示せます。グラフが下に凸なので、x=1のところで負ならば、必ず実数解を持つことになり、D>0を示す必要がなくなります。

(3) 2解のうち1つが1で、他の解が2以上である。
f(x)のx^2の係数が1より、他の解をαとするとf(x)=(x-1)(x-α)と変形できます。このαが2以上なので、α>=2。(x-1)(x-α)=x^2-(1+α)x+αより、f(x)=x^2-(1+α)x+αとf(x)=x^2+ax+bを比較して、条件が示せます。

(4) 1より大きい解を持つ。
これは少なくとも1より大きい解が1つ有る(2つのこともある)ということなので、(1)∪(2)の範囲になります。

(5) すべての解が-1<x<1となる。
まず相異2実解を持つ必要があるので、D≦0。
また、軸が-1<x<1の間にあり(即ち-1<-1/2a<1)、f(1)>0、f(-1)>0となる必要があります。

あるいは数学IIの範囲ですが、f(x)=0の2解をα,βとするとα+β=-a、αβ=bになることを利用して、
(1)…(α-1)+(β-1)>0∧(α-1)(β-1)>0∧D≧0
(2)…(α-1)(β-1)<0
(4)…(1)∧(2)
(5)…(α+1)+(β+1)>0∧(α+1)(β+1)>0∧(α-1)+(β-1)<0∧(α-1)(β-1)<0∧D≧0
を示せばよいです。

No.4 回答者： sotom 回答日時： 2010/09/12 04:44

中学の教科書の方がわかりやすい解説を書いているかもしれません。

そちらを見直しましょう。

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2010/09/12 02:06

(1)　f(1)＞0 かつ f’(1)＜0 かつ 判別式≧0

(2)　f(1)＜0
(3)　f(1)=0 かつ f(2)＜0
(4)　(1) または (2)
(5)　f(-1)＞0 かつ f(1)＞0 かつ 判別式≧0

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/12 00:10

こんばんわ。

まず、2次方程式が解をもつということですから、判別式の条件は考えておく必要があります。

この 2次方程式の解は、曲線：y＝ f(x)と x軸の交点の座標として与えられますね。
ですから、グラフが x軸とどのような位置関係になればいいかを描いてみてください。

x^2の係数が正ですから、下に凸であることも大事なポイントですね。＾＾

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/09/12 00:06

こんにちは。

(1) すべての解が1より大きい。
解の公式より、
・大きい方の解は、x = 1/2・(-a+√(a^2-4b))
・小さい方の解は、x = 1/2・(-a-√(a^2-4b))　←これが１より大きければよい

(2) 2解の間に1がある。
・大きい方の解は、x = 1/2・(-a+√(a^2-4b))　←これが１より大きければよい
・小さい方の解は、x = 1/2・(-a-√(a^2-4b))　←これが１より小さければよい

(3) 2解のうち1つが1で、他の解が2以上である。
・１つが１なので、1^2 + a・1 + b = 0
そして、
・大きい方の解は、x = 1/2・(-a+√(a^2-4b))　←これが２より大きければよい

(4) 1より大きい解を持つ。
・大きい方の解は、x = 1/2・(-a+√(a^2-4b))　←これが１より大きければよい

(5) すべての解が-1<x<1となる。
・大きい方の解は、x = 1/2・(-a+√(a^2-4b))　←これが１より小さければよい
・小さい方の解は、x = 1/2・(-a-√(a^2-4b))　←これが－１より大きければよい