定数と変数の見分け方

Question

定数と変数の見分け方

放物線Ｃ:y=x^2と直線b:y=m(x-1)は異なる２点Ａ、Ｂで交わっている。
（１）mの値が変化するとき、線分ＡＢの中点の軌跡を求めよ。

教えてほしいところ
僕はｍの値が変化するとあるので、ｍとは変数なのかなあと感じましたが、変数ではなく定数らしいです。
じゃあどう考えて定数とわかったのか友達に聞いたところ、なんとなく雰囲気でわかると言われました。
僕は雰囲気でわかりません。誰か、雰囲気とではなくしっかり説明できる人いませんか？？
また、もしｍが変数であったら表す軌跡は変わってしますんですか？？？

boiseweb · Accepted Answer

#4です．
質問者さんこそ，#4の次の部分をスルーしないでください．

========
数学を議論するときに，「何が定数で何が変数か」というのは，固定的に決まっているのではなくて，その式を扱って主体的に議論を進めようとする書き手自身が決めて，読み手に対して宣言するものなのです．
（中略）
試験問題に解答するという場面では，「書き手」は解答者です．だから，mを定数とみなすか変数とみなすかは，解答者自身が決めて，解答文の中で，読み手（＝採点者）にわかるように宣言すべきことです．
========

私の答は基本的に上記部分で尽きています．これ以上質問されても，上記の同語反復になるでしょう．

「mは定数ですか？それとも変数ですか？」という問について，「唯一絶対の『正解』が存在して，誰かがそれを知っていて，教えてくれる」のを待っているとしたら，そもそもその態度が間違っていますよ，というのが，#4での私の主張です．
mを定数と『する』のか，それとも変数と『する』のかは，「誰かが判断してくれる」ことではなくて，件の設問にまさに解答しようとする解答者自身が「決める」べきことです．
そして，その決め方がふさわしいかどうかは，その決め方によって「この議論は正しい」と採点者を納得させられる解答を完成できるかどうかで決まるのです．その判断は解答者自身がすべきことです．
質問投稿への回答者としての私は，件の設問の「解答者」でも「採点者」でもない，第三者（傍観者）の立場を貫いています．ほかの回答者も同じでしょう．

「mを変数とみなすと，こんな議論が可能ですよ」あるいは「mを定数とみなすと…」という一般論については，すでに私を含めいろんな回答がついていますよね．おおもとの質問投稿への回答としてはそれで十分なはずです．
質問者さんがすべきことは，補足欄で「僕の考えは真なのでしょうか偽なのでしょうか？」と食い下がることではありません．すでに提示された回答をじっくり吟味して，「mは定数か，それとも変数か？」という疑問に自分自身で答を出せるように，理解を深めることです．

naniwacchi · Answer

#2です。

もし mも変数とすると、y＝ m(x- 1)は参考URLのようなグラフになります。
このグラフを m＝ 1や m＝ 2という面で切った断面に、y＝ m(x- 1)の直線が現れます。
（少し想像力が必要ですね）

直線：y＝ m(x- 1)において、変数を xと考えれば mは定数になります。
双方ともに変数として扱うのであれば、上に書いた 3次元グラフを考えることになります。

#3さんも書かれているように、「一度定数としてから変数として扱う」ととらえるのがいいのかなと思います。
軌跡を表す中点の座標は、mを用いて表しますね。
ここまでは定数として扱っておいて、軌跡を考えるときには変数として考えていいと思います。
ただし、xy平面上の軌跡に対して mは媒介変数（パラメータ）であり、直接 x座標を与えるものではありませんね。

何を変数と考えるかで、見方が変わりますね。
#1さんもそういう意味で書かれているわけで、回答に対してああいう補足は感心しません。>_<

参考URL：http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot3D[m%28x-1%29%2C+{x%2C+-10%2C+10}%2C+{m%2C+-10%2C+10}]

boiseweb · Answer

そもそも，式の中で「何が定数で何が変数か」などというのは，最初から固定的，絶対的に確定しているものではなくて，その式が現れる文脈によって，そして，主体的に議論を進める書き手の主観によって，揺れ動くものなのですよ．
数学の議論では，文字aを含むひとつの式を文章中で一貫して扱うときに，文章の前半では「aは定数とする」と宣言して議論しておきながら，後半でいきなり「ここからはaを変数とする」と立場を変えて議論を続ける，なんてことは，ごく普通に行われます．

このことを頭において，質問文中の設問の解決法を考えていきましょう．

まず，放物線Cと直線bの2つの交点の座標は？ と考えるでしょう．
この段階では，mの値がふらふら動き回る状態を想像したのでは，図を描くこともままならず，解決のために想像力を働かせることができません．
そこで，mをいったん「定数」と思う，つまり，1とか-2とか3/4とかいう「わかっている」値ではないけれど，何らかの「きまった」値を表していると考えます．別の言い方をすれば，mの値は「実は変化しうるのだけれど，今は，きまった値に固定されている」と思うわけです．
mを「定数」と思うと，安心して図を描いて考えることができて，自然な方法で交点の座標を求めることができます．さらに2交点の中点の座標も求めておきましょう．その結果は，この時点では「定数」と思っている文字mを含んだものになります．

ここまで議論が進んでしまえば，「mは『きまった値』を表している」という制約を外して，「ここからの議論ではmは変数とする」と宣言してよいのです．
中点の座標はmを含んだ式で表されているのでした．ここで，mの値が変化すると，それに伴って中点の座標も変化するので，そこで軌跡を考えることができるようになります．

数学を議論するときに，「何が定数で何が変数か」というのは，固定的に決まっているのではなくて，その式を扱って主体的に議論を進めようとする書き手自身が決めて，読み手に対して宣言するものなのです．そして，ある文字を定数とみなすか変数とみなすかは，議論の段階が進展するタイミングで（明示的に宣言したうえで）変更してもよいのです．
試験問題に解答するという場面では，「書き手」は解答者です．だから，mを定数とみなすか変数とみなすかは，解答者自身が決めて，解答文の中で，読み手（＝採点者）にわかるように宣言すべきことです．

式に現れるある文字を，それぞれの文脈で定数・変数のどちらと考えるべきか（どちらのほうがうまく議論を遂行できるか）を見抜くには，ある種のセンスというか，経験に基づく勘が必要です．「雰囲気でわかる」とはそういうことです．数学の力をつけるためには，それを見抜くセンスを養うことも必要なのですよ．

koko_u_u · Answer

変数と考えようが、定数と考えようが、問題の解答には何ら影響はありません。

直線 b は m によって決まるので、変数 m が直線 b(m) を与えると考えてよい。
交点 A B も m によって決まるので、変数 m は交点 A(m)、B(m) をも与えるでしょう。
その中点 (A(m) + B(m))/2 は xy 平面に像を結ぶので、それを (x, y) の方程式で表現すればよい。

naniwacchi · Answer

こんばんわ。

#1さんの回答、非論理的ってことでもないですよ・・・
よく考えてみてください。

まず、yは xの関数ですから、変数は xです。
（xの値によって、yの値が決まる。y＝ f(x)の xということです。）

さて、直線：bの式は、mの値が確定すれば図形として描くことができますね。
（mの値によって、傾きや y切片が確定しますね。）
もし m＝ 2とすれば、y＝ 2x- 2として直線が描けますよね。
いまの問題では、この mがいろいろと変化するということです。

もし、xも mも変数とするのであれば、x軸（よこ）、m軸（たて）、y軸（高さ）を取った 3次元空間で考えることになってしまいます。
それでもいいのですが、ややこしくなるだけなので、mが「変化する定数」として扱うことになります。

言葉で説明することって難しいですね・・・＾＾；

noname#157574 · Answer

本問の場合，mは定数，x,yは変数。

定数と変数の見分け方

#4です．

#2です。

この回答への補足

この回答への補足

変数と考えようが、定数と考えようが、問題の解答には何ら影響はありません。

こんばんわ。

この回答への補足

本問の場合，mは定数，x,yは変数。

この回答への補足

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