階差数列について質問したいのですが、まだシグマの計算のみを練習している

階差数列について質問したいのですが、まだシグマの計算のみを練習している時期に、シグマの上がｎ－１のときはｎ＝１のときは１から０までの総数でおかしくなってしまうから、ｎは２以上と学校で習ったのですが、階差数列を用いて一般項を求める公式を習って、シグマの上が０になっておかしくなってしまうはずなのに、なぜ最後にｎ＝１を代入できるのですか？また、よければｎ＝１とｎが２以上とで分ける理由も教えてくださるとありがたいです。
問題視するほどでもないことを質問していたらすみません。

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/22 01:18

こんばんわ。

階差数列と一般項（求めたい数列の一般項）との関係をよく見れば、理由がわかってきます。

添付の図を見てください。
階差数列とは、一般項の差として与えられるものです。
よって、どこかに余ってしまう一般項があります。それは初項です。

n≧ 2の一般項に対しては、
a(n)
＝ a(n-1)+ b(n-1)
＝ a(n-2)+ b(n-2)+ b(n-1)
＝ ・・・
＝ a(1)+ b(1)+ b(2)+・・・+ b(n-2)+ b(n-1)
＝ a(1)+ Σ b(k)

の形を満たしていますが、

a(1)だけは b(n)が入る余地がなく、この形を満たしていません。
ですから、n≧ 2と n＝ 1とでは分ける必要があります。（満たしている規則性が違うから）


＞シグマの上が０になっておかしくなってしまうはずなのに、なぜ最後にｎ＝１を代入できるのですか？
これはある意味偶然の話です。
あくまでも、
「n≧ 2について成り立つ式なんだけれども、n＝ 1でもその形で満たすことがわかればまとめてもいいですよ。」
というだけです。

実際、問題によっては、n＝ 1では当てはまらない問題もあります。
そういうときには、答えが
a(1)＝ a、　a(n)＝ (nの式)（ただし、n≧ 2）

という書き方になります。

No.3 回答者： sak_sak 回答日時： 2010/09/22 22:29

答案の最初の部分で

「n≧2のとき、an=2n-1」が出たとします。
次に「n=1のとき、a1=1」が求められたとします。

でも、このまま答えたら、
「いちいち場合わけして答えなくても
どっちにしても『an=2n-1』なのに…」と思われます。
(採点するのは先生だから実際は違うでしょうが…)
解答はシンプルな方が良いのです。

No.2 回答者： banakona 回答日時： 2010/09/22 07:19

＞なぜ最後にｎ＝１を代入できるのですか？

「代入できる」のではなく、代入を試みているのです。

もし、代入して検証しないと、ｎ≧２の場合しか当てはまらない式を答案に書くことになります。
「ｎ＝１のときはどうなるんだ？！」といわれそうです。

だからｎ＝１を代入して（「代入してみて」という方がしっくり来ます）、成立したらｎ≧１の場合に拡張して回答し、成立しなかったら「ｎ≧２のときは～～、ｎ＝１のときは○○」と書くことになります。