a,b,p,qはすべて自然数で,aとbは互いに素であり、
(p^2+q^2)/a=(pq)/b をみたしている。
(1)pqはbで割り切れることを示せ。
これは、わかりました。
(2)√(a+2b)は自然数であることを示せ。
方針としては、√(a+2b)が平方数でることを示そうと
考えましたが、途中で挫折しました。
(1)から、pq=kb ・・(1)(kは自然数)とおくと
p^2+q^2=ka ・・(2)となる。
(1)×2+(2)より、(p+q)^2=(a+2b)k・・(3)
(2)-(1)×2より、(p-q)^2=(a-2b)k・・(4)
(3)と(4)より、(p+q)^2*(p-q)^2=(a+2b)(a-2b)k^2
(a+2b)(a-2b)={(p+q)^2*(p-q)^2}/k^2
左辺は整数より、(a+2b)(a-2b)=s^2 sは自然数 とおける。
次に、(a+2b)と(a-2b)が互いに素だとa+2bは平方数がいえるのかと
思いましたが、できませんでした。解答がこの流れでいいのか、
また、別の視点が必要なのか、よろしくおねがいします。
No.3
- 回答日時:
「k は d^2 の形である」ってどういうことだろう? d は当然に直前の d だから, 具体的な数値を入れると (たとえば d=3 なら) 「k は 9 の形である」とかいうことになっちゃうけど, いくらなんでもこの表現がおかしいことは理解してもらえると思う.
これを「k は平方数」という意味に解釈したとしても, 今の文言のままではダメ. あくまで「k は p と q の共通因数の 2乗を約数に持つ」としか言えない. もちろん実際には k は平方数なんだけど, p と q が互いに素なら k=1 になってしまう (そしてそのとき (3)式から a+2b が平方数であることは容易に言える) のでわざわざ平方数という必要もない.
回答ありがとうございます。
やっぱり言えるのは、「k は p と q の共通因数の 2乗を約数に持つ」
ということまででしたか。
pq=kb,p^2+q^2=ka の2つの式からはなにも分からないと思いましたが、
kについての条件がでてくるとは、目からうろこでした。
ありがとうございました。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
あ, 申し訳ない, 勘違いしてた. a と b が互いに素でも, a+2b と a-2b が互いに素であるとは言えない (a が偶数, b が奇数のときどちらも偶数). ただ, その場合は元に戻せばわかるように a+2b と a-2b はいずれも 4 の倍数なので, それから素因数分解の一意性を使うという筋はあるかもしれない.
(3) から別方向に進む筋だと, (1), (2) から「p と q の共通因数が k に 2乗の形で入る」ことがわかる. つまり p と q がどちらも d (>1) の倍数なら k は d^2 の倍数になるので, p と q は互いに素と仮定してかまわない. そのとき条件から k=1 がいえて a+2b = (p+q)^2 は平方数, と.
回答ありがとうございます。
(1), (2) から「p と q の共通因数が k に 2乗の形で入る」ことがわかる.
ここは、理解できました。後の部分で
つまり p と q がどちらも d (>1) の倍数なら k は d^2 の倍数になるので、
の部分で、「kはd^2の倍数になる」を「kはd^2の形である」と結論づけて良いのでしょうか。
いえれば、うれしいのですが。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- Excel(エクセル) エクセルデーターの並び替え 5 2022/08/06 09:59
- 数学 数学 2次関数 2 2023/04/09 19:08
- その他(形式科学) 数学1の問題が分かりません 2 2022/06/11 15:13
- 数学 数学 2次関数 1 2023/05/10 21:45
- Access(アクセス) お世話になります ACCESSを使用しています 下記のクエリデータ(1)があります 商品名 行数 A 1 2022/09/05 08:52
- 数学 整数問題の解き方の解説をお願いします。(2023問題) 7 2022/04/05 11:15
- 数学 問題 aについての降べきの順に整理せよ。 答え -a2乗-2(7b-2)a+2b2乗+2b-5 なの 6 2023/08/28 21:54
- 数学 放物線y=a(x-a)(x-b)について、頂点の座標を求めなさい。ただし、a≠0とし、a,bは実数の 6 2023/03/21 00:26
- 物理学 分布定数回路の問題について 2 2022/06/11 12:06
- 数学 数学のこの計算について質問なのですがなぜ「1」が出てくるのですか?私は計算をしてみて、(b-2)をく 2 2022/07/02 13:53
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1/∞=0は、なぜ?
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
数学の等式の証明の最後を省略...
-
数2 この問題で、この3つの辺...
-
置換を互換の積で表す σ=(1234)...
-
写真は三角不等式についてです...
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
xを7で割ると商がaで余りがbに...
-
画像の式のなぜ緑の下線部の式...
-
'='と':='の記述の違い
-
質問です。 a+b+c=0のとき、...
-
mの2乗+nの二乗が偶数ならば...
-
比について
-
exp(1/z)の原点のまわりでロー...
-
a>b,c>dのとき、不等式ac+bd>ad...
-
(a-b+c/2)^2+3/4(b-c)^2 は...
-
数学 剰余の定理
-
記号(イコールの上に三角形)...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
1/∞=0は、なぜ?
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
-
等式記号に似た三本線
-
説明変数と被説明変数とは何で...
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
x^n+1をx^2+x+1で割った余りを...
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
計算式の問題です。
-
高2恒等式
-
数学における 等価と同値って同...
-
a>b,c>dのとき、不等式ac+bd>ad...
-
xy-x-y+1 【因数分解】
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
「別々のセルの3つの日付が同じ...
-
組み合わせの公式
-
次の式を因数分解せよ。 x³-3x ...
おすすめ情報