分数の割り算について

Question

分数の割り算について

分数の割り算って逆数にして掛けますょね。
たとえば「12÷3/4＝12×4/3」のように。
これって小学生のとき習った記憶があり、まぁ計算自体はできますが、どうして逆数にして掛けることができるんですかね…
社会人になって今更直接人には聞けません…
どなたかできるだけわかり易く解説していただkればと思います。

回答よろしくお願いします。

momordica · Accepted Answer

社会人の方にこんな説明では失礼かもしれませんが、敢えて小学生向きの
説明で行かせてもらいます。

分数で割る計算の前に、まず分数をかける計算の意味を考えてみましょう。

例えば、
「1mの値段が200円のリボンがある。このリボン3ｍの値段はいくらか」
という問題の答は、
　200×3=600　（円）
のように掛け算で求められますよね。であるとすると、
「1mの値段が200円のリボンがある。このリボン(3/4)ｍの値段はいくらか」
という問題の答は
　200×3/4
という計算で求められることになります。

そこで、いわゆる「分数の掛け算」のやり方を知らないものとして、実際に
リボン(3/4)ｍの値段を考えてみると、

├───┼───┼───┼───┤　リボン1m　…　200円
　　　　↓　4で割る
　├───┤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　リボン(1/4)m　…　50円
　　　　↓　3を掛ける
　├───┼───┼───┤　　　　　　　リボン(3/4)m　…　150円

ということで、リボン(3/4)mの値段は150円であることが分かります。

以上のように、
　200×3/4
という計算は、実際には
　200÷4×3
という計算をするのと同じだということになります。

つまり、ある数に「分数をかける」という計算をするのは、その分数の
「分母で割って、分子をかける」という計算をするということなのです。

今度は、割り算です。
「3mの値段が600円のリボンがある。このリボン1ｍの値段はいくらか」
という問題は
　600÷3=200　（円）
のように計算できますから、同じように、
「3/4mの値段が150円のリボンがある。このリボン1ｍの値段はいくらか」
という問題なら、
　150÷3/4
という計算になります。

また先程のように、実際に値段を考えてみると、

├───┼───┼───┤　　　　　　　リボン(3/4)m　…　150円
　　　　↓　3で割る
　├───┤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　リボン(1/4)m　…　50円
　　　　↓　4を掛ける
　├───┼───┼───┼───┤　リボン1m　…　200円

ということで、リボン1mの値段は200円であることが分かります。

以上のように、
　200÷3/4
という計算は、実際には
　200÷3×4
という計算をするのと同じです。

つまり、先程の掛け算とはちょうど逆で、ある数を「分数で割る」というのは、
その分数の「分子で割って、分母をかける」という計算になります。
これは、先程の掛け算の意味を踏まえれば、分母と分子を逆にした数を
かける計算をするのと全く同じです。
したがって、分数で割るという計算をするには、その数の逆数をかければ
よいのです。

こんなところでいかがでしょうか。
他の回答者さんが挙げられているように、一口に割り算といっても様々な
とらえ方ができますし、他にも多くの説明の仕方がありますので、いろいろ
見て理解を深めてみてください。

momordica · Answer

＃７です。

> ちなみに回答して下さったものは１/４などと割る数が１より小さいですが、
> １より大きい数、例えば５/３などの場合でも同じ議論ができるのでしょうか？
> なんとなく自分自身、その議論ができるか心配なのですが…。

はい、もちろんできます。
「分数を掛ける」＝「分母で割って分子を掛ける」
「分数で割る｝＝「分子で割って分母を掛ける」
であるという計算の意味は、分母と分子のどちらが大きくても変わりません。

ピンと来なければ、私が説明で使った問題で、リボンの長さを5/3メートル
などに変えて考えてみてください。
値段の方もそれに合わせてちょっと変えてみた方がいいかもしれませんが。
（分母が3だとそのままだと割り切れないと思いますので）

nattocurry · Answer

■÷（３／４）
＝■÷（３÷４）
＝（■×４）÷（３÷４×４）
＝（■×４）÷３
＝■×４÷３
＝■×（４÷３）
＝■×（４／３）

kazu_-T · Answer

○÷2

上の「2で割る」というのは、

1
○　×　－
　　　　　2

「1/2を掛ける」というのと同じです。この部分は理解されているものとして回答致します。

○÷3/4

というのは、

1
○　×　－
　　　　3/4

と同じです。

これに1を掛けても同じなので、4/4を掛けても同じです。

1　　　　　4
○　×　－　×　－
　　　　3/4　　　　 4

以上を計算したら

4
○　×　－
　　　　　3

です。以上から、3/4で割ることと4/3を掛けることは同じと言えます。

windwald · Answer

ほかの方も回答されていますが、
「分数の割り算って逆数にして掛けます」と思っているならそれは間違い(とまでは言わないけど、思い違い)です。
すべての割り算は逆数をかけます。

そもそも「xで割る」こととは「xの逆数で掛ける」ことに他なりません。

ちなみに(xの)逆数とは、xに対して掛けると1となる数のことで、以下の式で言うyに当たります。
x * y = 1

nananotanu · Answer

余談ですが…

岩波科学の本、(確か)「関数を考える」の出だしが、『数学者もそれをきちんと説明できる人は少ない』みたいな感じでした。

解らなくてもなんら恥じることではないです。こうやって質問されていることに拍手！！！

keiryu · Answer

まあ、少々怪しいが、掛け算がそのまま上同士と下同士をけるのに疑問がなければ、
9／16÷3／8なんてのは、割り算そのもので9÷3／16÷8と質問者の疑問に触れることもなく。割り算で処理できますね。
でも、5／6÷3／4なんてのは、即割れない。で、3／4の3と4の公倍数3×4を掛け、通分しちゃって割ると、
5×3×4／6×3×4÷3／4は、5×4／6×3、あれあれ、上と下をひっくり返した掛け算になっている。というわけさ。

nag0720 · Answer

小学校で習う方法ではないですが、考え方の１つとして。

１２÷３　は　１２／３　と書けますね。

つまり、／は分数の記号でもあり、割り算の記号でもあります。
電卓やパソコンのキーボードなどの／は、割り算の意味で使われています。

では、１２÷（３／４）　どうなりますか。
上記と同じ書き方をすると　１２／（３／４）　となります（１２が分子で、３／４が分母です）。

ここで、分子分母に４を掛けると、
１２／（３／４）＝（１２×４）／｛（３／４）×４｝＝（１２×４）／３＝１２×（４／３）

つまり、
１２÷（３／４）＝１２×（４／３）
が言えます。

bu-to · Answer

『分数の割り算』で検索してみました。

この辺りを参考にしてください。

http://members.at.infoseek.co.jp/zakozako/bunsuu.htm

http://www9.wind.ne.jp/tammy/yomoyama/fraction.html

http://www.geocities.jp/two_well/bunsuu.html

分数の割り算について

社会人の方にこんな説明では失礼かもしれませんが、敢えて小学生向きの

＃７です。

■÷（３／４）

○÷2

ほかの方も回答されていますが、

余談ですが…

まあ、少々怪しいが、掛け算がそのまま上同士と下同士をけるのに疑問がなければ、

小学校で習う方法ではないですが、考え方の１つとして。

『分数の割り算』で検索してみました。

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