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スターリングサイクルの熱効率を求めたいですのですが分かりません。
状態A,B,C,Dの圧力、体積、温度はそれぞれ(Pa,Va,Ta)(Pb,Va,Tb)(Pc,Vc,Tc)(Pd,Vc,Td)。比熱Cp、Cvは一定とする。
等温過程(A→B,C→D)と定積過程(B→C,D→A)の組み合わせ。高温の熱源(Th)にA→Bで接触、低温の熱源(Tl)にC→D接触している。
こういう問題なんですが、解いても答えが合いませんでした。違うところがあったら指摘してください。お願いします。
A→Bの過程を(1)とし、B→Cの過程を(2)、C→Dの過程を(3)、D→Aの過程を(4)とする。

Q(1)=Cv(Th-Tl)
Q(2)=R×Th×log(Vc-Va)
Q(3)=Cv(Tl-Th)
Q(4)=R×Tl×log(Va-vc)

η=1-{Cv(Th-Tl)+R×Th×log(Vc-Va)}/{Cv(Tl-Th)+R×Tl×log(Va-vc)}

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A 回答 (4件)

理想的なカルノーサイクルでは,熱効率は一意的に


η= ΔT/Th = 1 - Tl/Th
というわけですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/カルノーサイクル

一般にスターリングエンジンでD→A,B→Cの定積過程における熱交換が無視できる場合に,
η = [ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ Cv(Th - Tl) + RTh log(Vc/Va) ]
≒[ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ RTh log(Vc/Va) ]
= (Th - Tl)/Th = 1 - Tl/Th
となると思います。
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#2


>D→A,B→Cの定積過程における熱交換が無視できる場合に,
は,定積過程をたとえば断熱過程に置き換えた場合,というスターリングサイクルを逸脱する条件を述べたものと解釈してください。

私も正直のところ,スターリングサイクルの熱効率をカルノーサイクルのもので代用する記述をいくつか見かけたことがあり,理論熱効率とのギャップを埋めきれずに疑問符を保留していましたが,#3の回答でおかげさまで疑問が払拭しました。ありがとうございます。

熱交換器の話,理論熱効率とシステムとしての効率を区別すべきこと等,大変明快な説明で自分自身の疑問も解けました。

参考として,カルノーサイクルについては下記の説明が親切です。

http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/carnot.html
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この回答へのお礼

HPまで紹介ありがとうございます。おかげで助かりました。

お礼日時:2010/11/08 20:57

熱機関の効率は


(外部にした仕事)/(外部から入ってきた熱量)
です。
#2
>D→A,B→Cの定積過程における熱交換が無視できる場合に,

どうして熱交換が無視できるのでしょうか。
定積過程D→Aは温度差を作り出している過程です。これで初めて熱機関になります。
準静的に加熱しています。B→Cは準静的に冷却しています。

2つの定積過程での熱量の出入りは等しいですが加熱と冷却は別の事です。
冷却で外に出て行った熱をそのまま加熱に使う事で元に戻せばD→A、B→Cは打ち消すので考えなくてもいいとしている解説もありますが「?」です。
http://www.nmri.go.jp/eng/khirata/stirling/cycle …

蓄熱式熱交換機(再生器)を使うと書かれています。
こういう具体的な熱再生システムを考えることは理論熱効率を考えることとは別の事です。
出て行った熱をいくら溜めても温度差を作ることはできません。

入ってきた熱の総量で効率を考えるという事であれば効率の式に出てくる分母の熱量はQ(D→A)+Q(A→B)になります。Q(B→C)をどのように再利用するかはこのサイクルの効率とは別の話です。再利用できればこのサイクルを含むシステムの効率はそのまま外部に捨てた時よりも高くなります。

定積加熱、定積冷却の過程を含むサイクルは他にもあります。オットーサイクルと呼ばれているサイクル(ガソリンエンジンのモデルサイクル)は定積加熱、断熱膨張、定積冷却、断熱圧縮です。効率は加熱の時に入ってきた熱量で外部にした仕事を割っています。冷却で出て行った熱量との差で割っているのではありません。(このサイクルでは定積過程でしか熱の出入りがありません。Qin-Qoutがした仕事になります。入ってきた熱量を差Qin-Qoutで考えるということをやってしまうと 効率=1 という変な結果になってしまいます。)

スターリングサイクルだけでなぜ定積加熱と定積冷却の熱量を打ち消してしまって効率を考えるという事が行われているのでしょうか。不思議です。カルノーサイクルの効率と同じ値になるという事を示したかったからかもしれません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
解答だけでなく自身のサイクルの謎も解けました。分かりやすかったです。

お礼日時:2010/11/08 20:56

結果に影響はありませんが,サイクルと等温・定積,熱量の計算がずれているようです。



決定的なミスは,積分の間違いです。

A→B(等温膨張過程とします)において,
Qin = Wout = ∫[Va~Vc]pdV
= ∫[Va~Vc] (RTh/V)dV
= RTh [ logV ]_Va^Vc
= RTh ( logVa - logVc )
= RTh log(Va/Vc) < 0
∴Qout = RTh log(Vc/Va) > 0

となります。結果は,

η = [ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ Cv(Th - Tl) + RTh log(Vc/Va) ]

となるようですが,いかがでしょうか?

この回答への補足

すいません書き間違えていました。
D→Aが(1),A→Bが(2),B→C(3),C→D(4)でした。

答えをみると1-Tl/Thでした。

補足日時:2010/11/07 20:11
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Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
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Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qレイノルズ数の具体的な値について

円管内流れにおける臨界レイノルズ数について教えてください。
調べても2000~4000などとあいまいにしか出てきません。。
できるだけ具体的な値を知りたいです!!

あと、なぜ臨界レイノルズ数の値ってこんなにばらつきが生じるのでしょうか?その理由についても教えて頂けると嬉しいです。

Aベストアンサー

臨界レイノルズ数に幅があるのは、この数値が計算ではなく
実験によるものだからということなのでしょう。

レイノルズ自身は円管の臨界レイノルズ数は「2300」と
実験で求めたそうですが、後の研究者の実験ではバラつき、
必ずしも2300ではない、との見解がこの幅のある表現に
なってるらしいです。

円管で無く飛行機の翼の実験では、レイノルズ数を増大させた
時と減少させた時とでは観測される臨界レイノルズ数が違い、
「数域」と呼べる幅が出来るそうで、この幅は「履歴現象
(ヒステリシス)」と呼ばれるそうです。
また翼型によっては、臨界レイノルズ数域自体が観測されない
(レイノルズ数の違いがポーラーカーブに差となって現れない)
ものもあるそうです。

Q開いた系についての概念について

今解いている開いた系の問題の解答を見ると
PV線図を作図する際、等温変化の曲線が直線になってます。間違いだと思うのですが違いますか?
 理想気体ならば等温の式PV=一定よりP=定数/Vとなり曲線になるはずですよね? 
 
 あとエンタルピについて質問です。エンタルピを考える時って開いた系の時だけですか?
  ΔQ=ΔH-VΔP
という変形は開いた系の時しか使えないのでしょうか?僕の考えでは、仕事を求める際圧力が変化し、PΔVで仕事が求まらない時にに上の式を使って変形して求まった仕事が工業仕事だと思うのですが違ってますか?教えてください!

Aベストアンサー

開いた系の P-V線図が反比例曲線の一部になるってことですよね?
おそらく levinoさんのお考えで正しいと思います。
そもそも、状態方程式は、閉じた系、開いた系によらず使えますから。。。

あと、エンタルピーですが、開いた系のときだけ登場しますね。
エンタルピーの定義は、簡単に言えば「系を出入りする全エネルギー」なんですけどね。
いや、かなり誤解を招く表現だと思いますんで、もうちょっと詳しく説明してみます。

閉じた系で考えるのであれば、系を出入りするエネルギーは熱しかありません。
つまり、仕事や内部エネルギーが熱以外の形で系を出入りすることはないんです。

ところが、開いた系では文字通り「開いている」わけですから、ある意味で何でもありです。
物質が系を出入りすることも自由です。
物質の出入りがあれば、当然そこにエネルギーの出入りも発生します。
たとえば、膨張した気体が漏れ出した場合には、仕事としてのエネルギー損失がありますし、そもそも気体の出入りがある時点で内部エネルギーの増減もあります。
このように物質の出入りによるエネルギーの増減は、「熱」とは呼べませんよね。

そこで導入されたものが「エンタルピー」ってやつです。
要するに、熱だけでなく他の物質の出入りによる仕事や内部エネルギーも含めて「出入りするエネルギー全体のことだよ」ということを、エンタルピーと呼ぶことにしたんです。

ご参考までに、エンタルピーに関するうまい説明をしているページをみつけましたので、参考URL に張っておきます。

また、閉じた系では絶対仕事 PdV、開いた系では工業仕事 VdP を使用しますね。

開いた系で PdV が求まらないのはある意味当然の話で、そのために工業仕事 VdP という量が導入されたんです。

こんな感じでいかがでしょうか。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/enthalpy.html

開いた系の P-V線図が反比例曲線の一部になるってことですよね?
おそらく levinoさんのお考えで正しいと思います。
そもそも、状態方程式は、閉じた系、開いた系によらず使えますから。。。

あと、エンタルピーですが、開いた系のときだけ登場しますね。
エンタルピーの定義は、簡単に言えば「系を出入りする全エネルギー」なんですけどね。
いや、かなり誤解を招く表現だと思いますんで、もうちょっと詳しく説明してみます。

閉じた系で考えるのであれば、系を出入りするエネルギーは熱しかありません...続きを読む

Qサバテサイクル

サバテサイクルの熱効率の導出ができません。
それらしい形になってはきたのですが、どうしてもできません。

導出過程を教えていただけませんか?

Aベストアンサー

サバテサイクルの各状態を次のようにおきます。
1→2:断熱圧縮
2→3:等容燃焼
3→4:等圧燃焼
4→5:断熱膨張
5→1:等容変化
各温度、容量、圧力をT,V,Pとし各状態の場合はその添え字をつける。
2→3:等容燃焼のとき給熱量をQ1、3→4:等圧燃焼のときの給熱量をQ1'
5→1:等容変化の放熱量をQ2とおく、ガスの質量をm、等容比熱をcv
等圧比熱をcpとする。比熱比をkとする。
Q1=Q1+Q1'=mcv(T3-T2)+mcp(T4-T3)、Q2=mcv(T5-T1)
理論熱効率をηthとすると次のようになる。
ηth=1-Q2/Q1=1-(T5-T1)/{(T3-T2)+(T3-T2)+k(T4-T3)}
次に各温度を求める。
1→2:断熱圧縮よりT1V1^(k-1)=T2V2^(k-1)よってT2=T1ε^(k-1)、ただしε=V1/V2
2→3:等容燃焼よりT2/P2=T3/P3よってT3=T2(P3/P2)={T1ε^(k-1)}(P3/P2)={T1ε^(k-1)}ζ、ただしζ=P3/P2
3→4:等圧燃焼よりT3/V3=T4/V4よってT4=T3(V4/V3)={T1ε^(k-1)}ζρ、ただしρ=V4/V3
4→5:断熱膨張よりT4V4^(k-1)=T5V5^(k-1)よってT5=T4(V4/V5)^(k-1)
=T4{(V4/V3)^(k-1)}{(V3/V5)^(k-1)}={T1ε^(k-1)}ζρ×{ρ^(k-1)}/ε^(k-1)=T1ζρ^k
※ここで図にサバテサイクルを描くと分かるとおり、ε=V1/V2=V3/V5(またはV2=V3,V1=V5)
以上よりηth=1-(T5-T1)/{(T3-T2)+(T3-T2)+k(T4-T3)}に上で求めた各温度を代入すると
ηth=1-T1(ζρ^k-1)/{[T1ε^(k-1)](ζ-1)+k[ζT1ε^(k-1)](ρ-1)}
=1-{1/ε^(k-1)}×{(ζρ^k-1)/[(ζ-1)+k(ρ-1)]}

サバテサイクルの各状態を次のようにおきます。
1→2:断熱圧縮
2→3:等容燃焼
3→4:等圧燃焼
4→5:断熱膨張
5→1:等容変化
各温度、容量、圧力をT,V,Pとし各状態の場合はその添え字をつける。
2→3:等容燃焼のとき給熱量をQ1、3→4:等圧燃焼のときの給熱量をQ1'
5→1:等容変化の放熱量をQ2とおく、ガスの質量をm、等容比熱をcv
等圧比熱をcpとする。比熱比をkとする。
Q1=Q1+Q1'=mcv(T3-T2)+mcp(T4-T3)、Q2=mcv(T5-T1)
理論熱効率をηthとすると次のようになる。
ηth=1-Q2/Q1=1-(T5-T1)/{(T3-T2)+(T3-...続きを読む

Q準静的過程,可逆サイクル,熱効率 (熱力学)

熱力学に関して以下の様に理解しております.
しかしこの理解はどこかが間違っているはずです.
そこで,その間違いはどこなのか,どの様に間違っているのかを指摘して下さると幸いです.



(1) 任意のサイクルにおいて,そのサイクルを常に平衡を保った状態で(準静的に)
  完了すれば,そのサイクルは可逆サイクルである.

(2) 可逆サイクルは最も熱効率のよいサイクルである.

(3) (1),(2)より,任意のサイクルを準静的に完了すれば,そのサイクルは
  最も熱効率の良いサイクルである.



上の理解はどこかが間違っているはずなのです.
なぜなら,(3)より,カルノーサイクルでもオットーサイクルでもディーゼルサイクルでもブレイトンサイクルでも,
サイクルを準静的に完了すれば全て同じ熱効率となってしまうためです.

Aベストアンサー

一言で言えば,熱源の数が違います.

最初に効率の定義を確認しておきましょう.
1サイクルでもらった熱量を Q2,
捨てた熱量を Q1
総仕事(外にする方を正と勘定)を W とするとき,
熱機関の効率ηは
(1)  η = W/Q2
で定義されます.
エネルギー保存則によって
(2)  Q2 - Q1 = W
ですから
(3)  η = 1 - Q2/Q1
と書くこともできます.
ここまでは効率の定義で,最大とかいう話はまだ出てきません.

さて,カルノーサイクルは2つの熱源の間で動作し,
その効率ηは
(4)  η = (T2-T1)/T2
に等しいことが知られています.
T2 は高温熱源の温度,T1 は低温熱源の温度.
カルノーサイクルでは,
作業物質の温度が T2 から T1 に移る(あるいはその逆)ときには
断熱過程で移りますから,
上記の2つの熱源以外に熱源は要りません.
で,カルノーの定理は
【ただ2つの熱源の間で動作する可逆機関】はすべて同じ効率をもち,
その効率は(4)である,
というものです.【】に注意.

ところが,他のサイクルではそうは行きません.
他のサイクルには等圧変化過程や等積変化過程があります.
これらの過程では必ず熱の出入りがあります.
で,準静的変化(可逆変化)では,
熱の移動の時に温度差があってはいけませんから(☆1),
例えば等圧変化で温度が Ta から Tb まで変化したとすると,
熱をやりとりする相手の熱源は温度が Ta から Tb までの連続無限個の
ものが必要になります.

したがって,カルノーサイクル以外のものは
【ただ2つの熱源の間で動作する可逆機関】
ではないのです.

カルノーサイクル以外のサイクルでは熱を授受する温度は
最高温熱源から最低温熱源まで分布しているわけですから,
カルノーサイクルとは効率が違って当然でしょう.
(4)は高温熱源の温度が高いほど,低温熱源の温度が低いほど,
効率がよいということを意味していますから,
熱源温度が連続的に T2 から T1 まで分布していたら
効率はカルノー効率(4)より小さくなることは容易に想像できます.
実際,クラウジウスの不等式を用いることによって,
このことを示すことができます.

(☆1) 本当に温度差がゼロでは熱が移動しませんから,
無限小だけ温度差があると思うべきでしょう.
温度差を小さくすることによって,
非可逆性の影響はいくらでも小さくできると考えられています.
この意味で,可逆機関は理想極限ですね.
ただし,これはオットーサイクルなどの効率がカルノー効率と違うこととは
別の話です.

(★) 本文からおわかりと思いますが,
【ただ2つの熱源の間で動作する可逆機関】は
本質的にカルノー機関しかありません.
したがって,カルノーの定理は,
効率が作業物質によらない(理想気体でも非理想気体でも同じ),というところが最も大事です.

(★) 熱機関は1サイクル回って元の状態に戻るのですから,
束縛エネルギーなどため込んではいけません.
エネルギー保存則(2)は常に成り立っています.
hitokotonusi さんはエントロピー出入りの話と混同されているように思われます.

一言で言えば,熱源の数が違います.

最初に効率の定義を確認しておきましょう.
1サイクルでもらった熱量を Q2,
捨てた熱量を Q1
総仕事(外にする方を正と勘定)を W とするとき,
熱機関の効率ηは
(1)  η = W/Q2
で定義されます.
エネルギー保存則によって
(2)  Q2 - Q1 = W
ですから
(3)  η = 1 - Q2/Q1
と書くこともできます.
ここまでは効率の定義で,最大とかいう話はまだ出てきません.

さて,カルノーサイクルは2つの熱源の間で動作し,
その効率ηは
(4)  η = (T2-T1)/T...続きを読む


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