
座標平面上に3直線l:x-y=0, m:x+y=2, n:ax+(2a+3)y=1がある。
ただし、aは定数とする。
(1)lとmの交点の座標は(?,?)である。
(2)nはaの値によらず、定点(?,?)を通る。
(3)3つの不等式 x-y<0, x+y<2, ax+(2a+3)y<1 の表す領域が三角形の内部になるとき、?<a<?である。
(1)(2)は分かりましたが(3)のグラフでまずax+(2a+3)y=1がどのような直線になるのかがよく分かりません。答えは (1)(1, 1) (2)(-2/3, 1/3) (3)-3<a<-1 です。
ヒントまたは解答をよろしくお願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(2)が(3)のヒントになってる。
n:ax+(2a+3)y-1=a(x+2y)+(3y-1)=0 は直線:x+2y=0と直線:3y-1=0との交点(-2/3、1/3)を通る直線束を表している。
従って、ax+(2a+3)y-1=0 の傾きについて考えると良いから
(1) 2a+3=0の時、x=-3/2であるから、確かに三角形を作るから解の一部。
(2) 2a+3≠0の時、条件を満たすには、|(-a)/(2a+3)|>1であると良い。
両辺が非負から2乗すると、-3<a<-1。
2a+3=0も解の一部から、求める答えは、-3<a<-1。
No.2
- 回答日時:
ベクトルの内積や直線の法線ベクトルを使って求めてみます。
(3) 先ず、2直線l,mの交点(1,1)はax+(2a+3)y<1の領域にありますので、a<-2/3 です。
直線lと直線mは直角に交差していますので、三角形の他の内角は鋭角です。
直線lの法線ベクトル: (1,-1)
直線mの法線ベクトル: (1,1)
直線nの法線ベクトル: (a,2a+3)
(2)で求めた定点(-2/3,1/3)は2直線l,mで区切られた領域の左側にあるので、
a<0 ですから 2直線l,nの法線ベクトルのなす角は 鈍角 で、2直線m,nの法線ベクトルの成す角は 鈍角 になります。
このことをベクトルの内積を使って表すと次のようになります。
a<0, a-(2a+3)<0, a+(2a+3)<0 ⇔ a<0,a>-3,a>-1 ⇔ -3<a<-1
以上をまとめると -3<a<-1 という条件が求められます。
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