数学 展開式における係数。

(1)（xの二乗－2x＋2）の４乗　xの五乗の係数は?

(2)（x＋2y＋１）のn乗　xの二乗の係数がはじめて５０を超える最小の整数nの値を求めよ。

できるだけわかりやすいようにお願いします。

わかりづらくてすいません。

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2010/11/20 20:31

(1)

(x^2-2x+2)^4={(x^2-2x)+2}^4=Σ[n=0～4]4Cn*(x^2-2x)^n*2^(4-n)
(x^2-2x)^n=x^n*(x-2)^n=Σ[k=0～n]nCk*x^(n+k)*(-2)^(n-k)
この中で、x^5の項はn+k=5、k≦n≦4のときなので、
(n,k)=(4,1)、(3,2)の場合のみ
そのときの係数は、
4C4*4C1*(-2)^3*2^0+4C3*3C2*(-2)^1*2^1=-80

(2)
(x+2y+1)^n={(x+1)+2y)^n=Σ[k=0～n]nCk*(x+1)^k*(2y)^(n-k)
x^2の項はyを含まないため、k=nのときのみ
(x+1)^nのなかのx^2の項の係数は、nC2=n(n-1)/2
これが50を超える最小の整数nは、n=11

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/11/20 19:31

（１）

（ｘ＾２－２ｘ＋２）が四個並んでいて、そのそれぞれから一つの項（ｘ＾２かー２ｘか２のうちからひとつ）を選んで掛けていくのが展開ということです。その結果ｘ＾５になるのは
（ａ）ｘ＾２を一つ、－２ｘを３つ
（ｂ）ｘ＾２を二つ、－２ｘを一つ、２を一つ
の組み合わせです。
　（ａ）は四つの（ｘ＾２－２ｘ＋２）のうちどれからｘ＾２を選ぶかということなので組み合わせは４通り、従って（ａ）に対応する係数はー８＊４でー３２です。
　（ｂ）は四つの（ｘ＾２－２ｘ＋２）のうちどれから－２ｘを選ぶか、かつ残り３つの（ｘ＾２－２ｘ＋２）のうちどれから２を選ぶかということなので組み合わせは１２通り、従って（ｂ）に対応する係数は－２＊２＊１２で－４８です。
　（ａ）と（ｂ）を合わせると係数はー８０になります。

（２）上記と同様に考えると、（ｘ＋２ｙ＋１）がｎ個並んでいて、それぞれから一つの項（ｘか２ｙか１のうちから一つ）を選んで掛けていったときにｘ＾２になる組み合わせを考えればいいことになります。条件を満たすのは
２個の（ｘ＋２ｙ＋１）からｘを選び、残る（ｎー２）個から１を選んだ場合です。ｘの選び方はｎ（ｎ－１）／２通りあるので、全体の係数はｎ（ｎ－１）／２になります。これが５０を超えればいいので
ｎ（ｎ－１）／２＞５０　とおいて
ｎ（ｎ－１）＞１００
これを満たす整数ｎの条件は１１以上になります。

No.1 回答者： girlkeeper 回答日時： 2010/11/20 19:25

（１）だけ。

xの二乗－2x＋2　を（１、－２，２）と表現することにします。そしてコレの４乗（^4とかく）を
（１、－２，２）
（１、－２，２）
（１、－２，２）
（１、－２，２）
と書くことにします。（xの二乗－2x＋2）^4は、これら４段の各段から１個ずつ取り出して、同類項をまとめたものとなります。

例えば最も左を上から下へ１直線にとったものは、ｘ^2を４つ掛けたものなのでｘ^8の項。その係数は１×１×１×１なので１。
最も右を上から下へ１直線にとったものは定数項を４つまとめたものなので定数項。係数は２×２×２×２なので１６。
これらはそれぞれ１パターンしかないのでコレで終わり。

さて本題のｘ^5ですが、２パターンあって、
　Aパターン：ｘ^2を２個、ｘを１個、定数を１個かけ合わせたもの
　Bパターン：ｘ^2を１個、ｘを３個かけ合わせたもの

Aパターン：ｘ^2（各段の最も左）を2個えらぶ方法が　４Ｃ 2＝６（通り）
　　　　　　残り２個からｘ（格段の真ん中）を1個えらぶ方法が　　2Ｃ 1＝２（通り）
　　　　　　定数項は残り１個で確定なので１通り
　　　　　　ｘの係数が－２，定数項が２なので　係数は　６×２×１×（－２）×２＝－４８

Ｂパターン：同様にして、ｘ^2を１個えらぶ方法が　４Ｃ 1＝４（通り）
　　　　　　残り３個からｘを３個えらぶ方法は１通りに確定
　　　　　　定数項は選ばない。
　　　　　　ｘの係数が－２なので　係数は　４×１×１×（－２）^3＝－３２

よって　ｘ^5の係数は　（－４８）＋（－３２）＝－８０