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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
(1)
(x^2-2x+2)^4={(x^2-2x)+2}^4=Σ[n=0~4]4Cn*(x^2-2x)^n*2^(4-n)
(x^2-2x)^n=x^n*(x-2)^n=Σ[k=0~n]nCk*x^(n+k)*(-2)^(n-k)
この中で、x^5の項はn+k=5、k≦n≦4のときなので、
(n,k)=(4,1)、(3,2)の場合のみ
そのときの係数は、
4C4*4C1*(-2)^3*2^0+4C3*3C2*(-2)^1*2^1=-80
(2)
(x+2y+1)^n={(x+1)+2y)^n=Σ[k=0~n]nCk*(x+1)^k*(2y)^(n-k)
x^2の項はyを含まないため、k=nのときのみ
(x+1)^nのなかのx^2の項の係数は、nC2=n(n-1)/2
これが50を超える最小の整数nは、n=11
No.2
- 回答日時:
(1)
(x^2-2x+2)が四個並んでいて、そのそれぞれから一つの項(x^2かー2xか2のうちからひとつ)を選んで掛けていくのが展開ということです。その結果x^5になるのは
(a)x^2を一つ、-2xを3つ
(b)x^2を二つ、-2xを一つ、2を一つ
の組み合わせです。
(a)は四つの(x^2-2x+2)のうちどれからx^2を選ぶかということなので組み合わせは4通り、従って(a)に対応する係数はー8*4でー32です。
(b)は四つの(x^2-2x+2)のうちどれから-2xを選ぶか、かつ残り3つの(x^2-2x+2)のうちどれから2を選ぶかということなので組み合わせは12通り、従って(b)に対応する係数は-2*2*12で-48です。
(a)と(b)を合わせると係数はー80になります。
(2)上記と同様に考えると、(x+2y+1)がn個並んでいて、それぞれから一つの項(xか2yか1のうちから一つ)を選んで掛けていったときにx^2になる組み合わせを考えればいいことになります。条件を満たすのは
2個の(x+2y+1)からxを選び、残る(nー2)個から1を選んだ場合です。xの選び方はn(n-1)/2通りあるので、全体の係数はn(n-1)/2になります。これが50を超えればいいので
n(n-1)/2>50 とおいて
n(n-1)>100
これを満たす整数nの条件は11以上になります。
No.1
- 回答日時:
(1)だけ。
xの二乗-2x+2 を(1、-2,2)と表現することにします。そしてコレの4乗(^4とかく)を
(1、-2,2)
(1、-2,2)
(1、-2,2)
(1、-2,2)
と書くことにします。(xの二乗-2x+2)^4は、これら4段の各段から1個ずつ取り出して、同類項をまとめたものとなります。
例えば最も左を上から下へ1直線にとったものは、x^2を4つ掛けたものなのでx^8の項。その係数は1×1×1×1なので1。
最も右を上から下へ1直線にとったものは定数項を4つまとめたものなので定数項。係数は2×2×2×2なので16。
これらはそれぞれ1パターンしかないのでコレで終わり。
さて本題のx^5ですが、2パターンあって、
Aパターン:x^2を2個、xを1個、定数を1個かけ合わせたもの
Bパターン:x^2を1個、xを3個かけ合わせたもの
Aパターン:x^2(各段の最も左)を2個えらぶ方法が 4C 2=6(通り)
残り2個からx(格段の真ん中)を1個えらぶ方法が 2C 1=2(通り)
定数項は残り1個で確定なので1通り
xの係数が-2,定数項が2なので 係数は 6×2×1×(-2)×2=-48
Bパターン:同様にして、x^2を1個えらぶ方法が 4C 1=4(通り)
残り3個からxを3個えらぶ方法は1通りに確定
定数項は選ばない。
xの係数が-2なので 係数は 4×1×1×(-2)^3=-32
よって x^5の係数は (-48)+(-32)=-80
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