x+y+Z=7の負ではない整数の解は何個あるか？

x+y+Z=7の負ではない整数の解は何個あるか？
x+y+Z=12の正の整数解は何個あるか？
この二つの解法はなぜ違うのですか？
上は ○○｜○○｜○○○から
９Ｃ７で 下は
○○○○｜○○○○｜○○○○から
１４Ｃ１２だと思ったのですが

違いました。


どうしてですか？

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/11/24 00:33

「負ではない整数」は 0 を含み、

「正の整数」は 0 を含まないからです。

貴方の解法は、0 を含むほうの問題用です。

この回答への補足

‘なぜ‘
上と下で解法が変わるのかが、この説明だと私にはわからなのですが・・・

補足日時：2010/11/24 00:42

No.2 回答者： orcus0930 回答日時： 2010/11/24 00:50

あなたの下の解法では，X=0になっちゃう場合があるでしょ？

（｜が端にくるのを許してるし，｜｜みたいに｜が並ぶのを許してるから）

その場合を排除するように解き方を変えないといけない．

No.3 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/24 00:52

こんばんわ。

まず、#1さんも書かれているように、
・負でない ＝ 0以上である
・正の整数解 ＝ 0は含まない ＝ つまりは自然数

ということになります。

・x+y+Z=7の負ではない整数の解は何個あるか？
問題を少し言い換えると、「7個のリンゴを 3人に分ける分け方は？」と同じです。
すると、7個のリンゴと 2本の仕切り棒があればいいので、9Ｃ7とおりになります。

・x+y+Z=12の正の整数解は何個あるか？
この問題では「0個は含まない」というところがポイントです。
もう少し言い換えれば「少なくとも 1個はもらう」ことになります。
そこで、「先に 1個ずつ配ってしまい、残りを分ける」ことを考えます。
1個ずつ配ると残りは 9個ですから、これを分けることを考えれば、やはり 9Ｃ7とおりとなります。


1番目の問題は、「0個」が許されるので何も考えずに分けてもよく、
2番目の問題は、「少なくとも 1個は持っていないといけない」ので、その状態にしてから考えないといけないということになります。

No.4 回答者： Kules 回答日時： 2010/11/24 00:55

○○｜○○｜○○○

のようにしてこの類の問題を解く方法は、
縦棒が２本連続することがあると考えます（というか、その状態を特別な状況として区別しません）
すなわち、縦棒で区切られた○の数を左から順にx,y,zと決めるので、
x,y,zは0になり得ます。
問題を見てみましょう。
>負ではない整数の解は何個あるか
これは0になってもOKという意味ですので、
上の考え方がそのまま使えます。

>正の整数解は何個あるか
これはx,y,zはいずれも0になってはいけないという意味です。
ということは、このままだと上の考え方は使えないことになります。
これを解決するには、○をx,y,zに１つずつ与えることにして、残りの9個を同じようにx,y,zで分けることを考えればよいです。
（x,y,zを「子供x,y,zがもらえるお菓子の数」、○をお菓子だと考えるとわかりやすいかも知れません。「0になってもいい」というのは「１個ももらえないこどもがいてもいい」ということで、「0になってはいけない」というのは、「１個ももらえない子供がいたらだめ」→「とりあえず１個ずつ配っといて、残りを分ける」ということになりますよね？）

ということで、この問題を応用問題っぽくするとこんなこともできます。

「
x+y+z=12を満たすx,y,zの組み合わせは何個あるか？
ただし、x,y,zは
x≧0、y≧1、z≧2を満たす整数とする。
」
これは、あらかじめyに１つ、zに２つ○を配っておいて、残り9個を分ける問題だな、ということになります。

「0になってはいけない」=「１個ももらえない子供がいたらだめ」→「とりあえず１個ずつ配っといて、残りを分ける」
というのが大事な考え方なのではないかと思います。

参考になれば幸いです。

No.5 回答者： k298756f 回答日時： 2010/11/24 01:13

上の式の負でない整数、とはゼロを含むのでその線を入れるのに端っこが追加されます。

下の式は正の整数と言っているので、ゼロを含んではいけないので、端っこをいれてはいけないので、解法が違うんだと思います。
まぁ解法は同じなんですが、考える数が違うんです。
それとその式じたいまちがってるとおもいます

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/11/24 01:35

＞‘なぜ‘ 上と下で解法が変わるのか

「負ではない整数」は 0 を含み、
「正の整数」は 0 を含まない。
上と下の問題では、聞いていることが違うから、
答えの求め方も違うのです。

「なぜ解法が違うのか」に対する回答は
これしかありえません。

それぞれの問題に対して、どのような解法があるか
については、A No.3 に書かれてありますね。