十分性と必要性について。

十分性と必要性について。

数学の問題において、十分性と必要性を示さなければならない場合はどのような場合なのでしょうか？

ある行列の問題で、その両方を示さなければいけない問題があり、なぜなのかと思って質問しました。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/12/01 15:44

＞ある行列の問題で、その両方を示さなければいけない問題があり、なぜなのかと思って質問しました。

　例えば、次のような問題でしょうか？

　　「２行２列の正方行列Aが　A^2=A を満たすとき行列Aを求めよ。」

　この問題の解法はいくつかありますが、そのうちの一つに　ケイリー・ハミルトンの定理　を使うものがあります。その際、必要十分条件の一部を緩めて必要条件を求め、あとで十分性を確認するものがあります。
　行列Aの成分を(a, b)(c,d) と表したとき　(1)a+d=1 と (2)a+d≠1 で場合分けし、(2)の場合には 必要十分性を保つためには本来　A=(ad+bc)/(a+d-1) E　（E:単位行列）　としなければならないのですが、ここで条件を緩めて　A=kE (k:実数)　としてkをしたときに　必要性と十分性を示すことになります。
　条件を緩めた後は簡単にk=0,1と求められますが、ここが曲者で本当にk=0,1とするようなa,b,c,dが存在するかはこの時点では分かりません。　そこで、例えば元の A^2=A の式に代入して成立することを確かめ（十分性の確認）なければならないのです。

　このように一旦条件を緩めた方が簡単に答えが得られる場合に、必要条件と十分条件に分けて考えることが良くとられます。


＞数学の問題において、十分性と必要性を示さなければならない場合はどのような場合なのでしょうか？

　高校数学の行列の問題で　ケイリー・ハミルトンの定理　を使うものではよく見られます。
　他には整式や多項式、２次関数、ある条件を満たす領域を求める問題、数列、極限などで色々な単元で見られたように思います。
　いずれの問題でも、必要十分条件のままでは計算が煩雑になるケースでしばしば用いられます。

　とても有用な考え方ですので、是非身に付けて、他の問題でも使いこなせるようになってください。

No.2 回答者： Charlie24 回答日時： 2010/12/01 13:05

その行列の問題を見てみないと分かりませんが、

同値ではないものを使って解いているのではないでしょうか。

例えば、ある条件Aに対して、条件Aを含む条件として条件Bがあったとします。
そして、条件Aのもと解を求めなさい、という問題に対し、
条件Bを使えばひとまずの解は出るとします。
しかし、これでは必要性は言えても十分性は言えませんよね。

例としては、ある方程式（例えばax^2+bx+c=0など）において、
xが自然数となるような解を持つようにa,b,cを定めなさい
という問題があったとして、これを解くときに、
xが整数となるような解を持つという条件で解いたら
問題が解けたとします。
ここで問題ではxが自然数となる条件を求めていますが、
自然数であると言うことは整数なので、ここで得られた解は
実際の問題の解の候補になり得ますが、より厳しい条件で
チェックする必要がありますよね。

また最近のカリキュラムを知らないので、極限値を習っているか
分かりませんが、
lim_(x→2)　(x^2+ax-6)/(x-2)
が極限値を持つようにaを設定しなさいと言う問題があったとします。
この場合、分母にx=2を代入すれば0となることから、
x=2を分母分子に代入したとき0/0の不定形にならなければ
極限値を持つことはないので、この問題は0/0の不定形になる必要があります。
そこで分子にx=2を代入すれば0となるようにaを設定すれば答えとなります。
しかし一般的に0/0の不定形は必ず極限値を持つかというと、
そんなことはありません。
lim_(x→0) x/x^2 （分子がx、分母がxの2乗）
などは0/0の不定形ですが極限値を持ちません。
つまり極限値を持つということと0/0の不定形になるということが
同値ではないということです。
なので、得られたaで実際に極限値が出ることを確認するなどを
しなければならないということとなります。

このように、問題を解く際に同値ではない、設定より大きな条件で解くことで
一応の答えは出る、ただその条件ではさらなるチェックが必要、ということが
質問者様の解いた行列の問題でも入っていたのではないかと思います。

No.1 回答者： do_ra_ne_ko 回答日時： 2010/12/01 07:25

　高校数学で、

　　ＡならばＢ、つまりＡ→Ｂなら
　　　ＡをＢである必要条件
　　　　　ＢをＡである十分条件

　の定義を習いました。

　これが必要かつ十分な知識だと存じます。

簡単な例なら、
　　（ｘ－２＝０）　→（ｘ＾２－４＝０）・・・・・・・・・（１）

　　つまり、両辺に（ｘ＋２）を掛けるという数学上の操作をしています。
　　正確にいえば（ｘ＋２）≠０の時だけに許される操作です。・・・・・・・・（２）

　　ですから、
　　（ｘ＾２－４＝０）つまり（ｓ－２）（ｘ＋２＝０）　→　（ｘ－２＝０）
　　とは言えません。（ｘ＋２）＝０が脱落しています。

　　これから分かることは、（１）において
　　（ｘ－２＝０）は　（ｘ＾2－４＝０　の必要条件ではありますが十分条件ではない。
　
　つまり、（ｘ－２＝０）　と　（ｘ＾２－４＝０）　は同じものではないことが分かります。

　式の変形で通常は必要十分条件を満たすようにしますが、
　例えば式の変形の途中では（２）の考慮しておけばよいのですがこれを後回しにして
　必要条件だけを考慮して式を変形して、最後に十分条件であることを確認します。

　ここで取り上げた例はあまりに簡単なので、逆にこのようなことをする理由が分かりにくいの
　ですが、お尋ねの行列の問題などでは一見して理解できないので必要十分条件の検証が
　必要だということだと思いますす。