誤って、回答締め切りをしてしまったため、再度立てさせていただきます。すみません。
領域 D が実軸に関して対称であると仮定する。w = f(z) が正則ならば,w =¯f(¯z). も正則であることを示せ。
という問題が分かりません。
最終的に、「コーシー・リーマンの関係式を満たすので正則」と結論づけたいです。
z=x+iy として、f(x-iy)とします。
fが具体的に与えられていないため、どのように∂u/∂xや∂v/∂yなどの計算を行えば良いのかが分かりません。
どうすれば良いのでしょうか?
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
fが具体的には与えられていませんが、fは一般にz=x+iyとしたとき、
f=U(x,y)+iV(x,y) (1)
なる、実部と虚部からなる関数であると書けます。これと共役な関数f*は、
f*(z)=U(x,y)-iV(x,y) (2)
であり、設問では変数も共役なので、
f*(z*)=U(x,-y)-iV(x,-y)=U*+V* (3)
となります。
コーシー・リーマンの定理によれば、関数fが領域Dで正則であることは、uとvがDで全微分可能であり、コーシー・リーマンの方程式
Ux=Vy, Uy=-Vx
を満たすこととあります。ところで、(3)の実部をx,yでそれぞれ偏微分すると、
U*x=Ux=Vy
U*y=-Uy(=-Vx)
となります。ここに、(3)の虚部に注目し、これをxで偏微分すると、
V*x=-Vx
となり、
U*y=-V*x
が導出されます。
ここから、f*(z*)が、コーシー・リーマンの方程式を満たし、正則であることが示せます。
というのでどうでしょうか?
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