広義重積分の問題です。

∬1/√（x^2+y^2）dxdy ,D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}
この問題がどうしても解けません。解答を教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/14 03:37

I=∬[D] 1/(x^2+y^2)^(1/2)dxdy

t=x/yと置くと
=∫[0,1] dy ∫[0,1/y] 1/(1+t^2)^(1/2) dt
=∫[0,1] dy [asinh(t)] [t:0,1/y]
=∫[0,1] asinh(1/y) dy
=[y*asinh(1/y)+(1/2)log{√(1+(1/y)^2)+1}-(1/2)log{√(1+(1/y)^2)-1}] [x:0,1]
=asinh(1)+(1/2)log{(√2+1)/(√2-1)}-lim[y→+0] y*asinh(1/y)
+(1/2)lim[y→+0]log[{√(1+(1/y)^2)-1}/{√(1+(1/y)^2)+1}]
=log(1+√2)+log(√2+1)-0 +(1/2)lim[y→+0]log[{√(y^2+1)-y}/{√(y^2+1)+y}]
=2log(1+√2) + log(1)
=2log(1+√2) +0
=2log(1+√2)

【注】逆双曲線関数：asinh(x)=log{x+√(1+x^2)}, asinh(1)=log(1+√2)
　　 (対数は自然対数)

この回答へのお礼

先程は大変失礼しました。
回答ありがとうございます。二度とこのようなことがにいように気をつけます。

お礼日時：2011/01/16 11:00

No.4 回答者： -ok 回答日時： 2011/01/14 08:52

訂正です。

＃３の３行目
I = ∫(1/r) r dr dθ = ∫dr dθ。
にある二つの
∫
は、いずれも
∫∫
の間違いです。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/16 10:57

No.3 回答者： -ok 回答日時： 2011/01/14 07:35

見なれた関数で計算してみましょう。

極座標を使うと、与えられた積分は
I = ∫(1/r) r dr dθ = ∫dr dθ。
積分範囲は、
θ = 0 → π/2、
r = 0 → 1/cosθ　(0 <= θ <= π/4)、
　= 0 → 1/sinθ　(π/4 < θ <= π/2)。
対称性から θ = 0 → π/4 の積分とπ/4 → π/2 の積分は等しいので、
I = 2 ∫[π/4,π/2] (∫[0,1/sinθ] dr) dθ
　= 2 ∫[π/4,π/2] (1/sinθ) dθ。

不定積分
J = ∫(1/sinθ) dθ
を求めるために、
t = sin(θ/2)
とおくと、
dt = (1/2) cos(θ/2) dθ
より
J = ∫[1/{2sin(θ/2)cos(θ/2)}]{2/cos(θ/2)}dt
　= ∫[1/{t(1-t^2)}] dt
　= ∫[1/t + (1/2){1/(1-t) - 1/(1+t)}] dt
　= ln(t) - (1/2){ln(1-t) + ln(1+t)}　　(ln は自然対数)
　= ln(t) - (1/2)ln(1-t^2)
　= ln{sin(θ/2)} - (1/2)ln{cos^2(θ/2)}
　= ln{sin(θ/2)} - ln{cos(θ/2)}
　= ln{tan(θ/2)}。

よって
I = 2 ln{tan(θ/2)}[π/4,π/2]
　= 2 [ln{tan(π/4)} - ln{tan(π/8)}]
　= 2 [ln(1) - ln{tan(π/8)}]
　= - 2 ln{tan(π/8)}。

tan(π/8) を求めるために、倍角公式
tan(2φ) = 2 tanφ/{1- tan^2(φ)}
で
φ = π/8、
x = tan(π/8)
とすると、
1 = tan(π/4) = 2 x / (1 - x^2)。
これから
x^2 + 2 x -1 = 0。
これを解いて
x = -1 ± √2。
x > 0 なので、
x = √(2) - 1。

よって、
I = - 2 ln{√(2) - 1}
　= 2 ln{1/(√(2) - 1)}
　= 2 ln{√(2) + 1}。

この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。
お礼が遅れてしまい申し訳ありませんでした。

お礼日時：2011/01/16 11:01

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2011/01/14 02:51

∬1/√（x^2+y^2）dxdy D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}

= log(tan(3π/8))－log(tan(π/8))

この回答へのお礼

解答ありがとうございました。参考になりました。

お礼日時：2011/01/16 11:02