中学生の問題!

こんにちは!
私は、今受験シーズン真っ只中の中学3年生です。
私立の過去問をやっていて、よく分からないところがあったので、教えてほしいと思って質問しました。
その問題と言うのが…
扇型の半径が5cm、高さが4cm、底面の円の半径が3cmの円錐に内接する球を書き、その球が円錐の側面と接している部分の作る図形は円になるが、その円の半径を求めなさいというもの。
問題が長い&分かりにくくてごめんなさい…
解説をよんでもよく分からなかったので、教えてほしいです!
ちなみに…円錐に内接する球の半径は3/2(2分の3)cm、この問題の答えは6/5(5分の6)cmです。
数学が得意なかた、よろしくお願いしますっ!!!


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No.3 ベストアンサー 回答者： ei10 回答日時： 2011/01/19 13:10

まずは、この球が入った円錐を横から見て、円が入った三角形だととらえます。

（三次元だとわかりにくいのでｗ）

円の半径をｒとしましょう。
どういう式を立てればいいかというと、
この三角形の面積についての式を2つ立てればいいのです。
そのときにｒを使えば、ｒが解けるはずです。

円の面積をＳとします。
まずは、
Ｓ＝6×4÷2
　＝12　　　・・・(1)
というのがすぐ出てくると思います。
さらにここで、ｒを使ってこの三角形の面積を求めてそれが
12になるよ～っていう式を立てればｒが求まります。
では、どうすればいいか話します。
説明のために三角形ＡＢＣとして、
ＡＢ＝ＣＡ＝5、ＢＣ＝6とします。
また円の中心をＯとします。

ここで、△ＡＯＢ、△ＢＯＣ、△ＣＯＡに分けて考えます。
まず△ＡＯＢの面積を考えます。
線分ＡＢと円の接する点をＤとします。
ＡＢとＯＤは垂直なので、
（△ＡＯＢの面積）＝5×ｒ÷2
という式が成り立ちます。
△ＢＯＣ、△ＣＯＡについても同じように考えて、
（△ＢＯＣの面積）＝6×ｒ÷2
（△ＣＯＡの面積）＝5×ｒ÷2

三角形ＡＢＣの面積Ｓは、
（△ＡＯＢの面積）+（△ＢＯＣの面積）+（△ＣＯＡの面積）
なので、
Ｓ＝（5×ｒ÷2）+（6×ｒ÷2）+（5×ｒ÷2）
　＝（5+6+5）×ｒ÷2
　＝8ｒ

(1)の結果から、
8ｒ＝12
ｒ＝3/2

という結果がでます。
一般に、三角形のそれぞれの辺の値をa,b,c、
その三角形に内接する円の半径をｒ、
とすると、三角形の面積Ｓは
Ｓ＝（a+b+c）×ｒ÷2
となります。

次に、球が接するところにできる円の半径ですが、
ここで説明のためにまた点を定めます。
線分ＣＡと円の接する点を点Ｅ、線分ＢＣと円の接する点を点Ｆ、
ＯＡとＤＥの交点を点Ｇとします。

ここでは、相似を使って、ＤＧの長さを出します。
（ＤＧの長さが求めるものです。）
結果をさきにいえば、
△ＡＢＦと△ＤＯＧが相似になります。

相似をいうには、二つの角が等しいことを言えば大丈夫ですが、
1つは直角、そしてもう1つは、∠ＢＡＦと∠ＯＤＧです。

この証明は簡単です。
∠ＡＤＧを▲としましょう。
∠ＢＡＦ+▲＝90°
∠ＯＤＧ+▲＝90°
ですから、∠ＢＡＦ＝∠ＯＤＧとなります。
よって、△ＡＢＦと△ＤＯＧが相似になります。

ですので、
ＯＤ：ＤＧ＝ＡＢ：ＡＦ
値を代入すると
3/2：ＤＧ＝5：4
これを計算すると
ＤＧ＝6/5

となります。ながくなってすみません・・・

この回答へのお礼

うぉーっ!!
すっごい分かりやすかったですっ!
ありがとうございますっ(・ω-)~★
もう一回解き直してみますね。
きっとほかにも分からない問題たくさんあると思うんで…
また教えてくださーい!

お礼日時：2011/01/19 13:56

No.2 回答者： gf4m414 回答日時： 2011/01/19 12:45

すみません最後　ｃｍ２ではなくｃｍです。

No.1 回答者： gf4m414 回答日時： 2011/01/19 12:39

円錐をずばっと縦に切ると

断面は５，５，６cmの三角形に円が内接している感じになります。

そこでこの三角形の面積は６＊４/2=12cm2

円から頂点にそれぞれ線を引くと三角形が３つ出来ます。それぞれの高さは半径で等しい。rとすると、三角形3つの面積の和は1/2*r*(5+5+6)=8r
8r=12 r=3/2 円の半径は3/2cm2

この問題の答えが分かりませんけど

この回答へのお礼

分かりやすい解答ありがとうございますっ!
なんで球の半径が3/2cmになるのかもイマイチよく分かってなかったんで…
かなり助かりましたっ!!
今からもう一回答えの解説を見てさっきの問題やってみますね(●´ω｀●)
出来たら報告しまーす。

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お礼日時：2011/01/19 13:05