数学的帰納法の必要性について

数学的帰納法の例題として、「1+3+5+…+(2n-1)=n^2の等式を証明せよ」というものが教科書に載っています。

この例題は左辺をΣ(2k-1)としてk=1からnまでの和で計算して、右辺を導くという方法では証明できないのでしょうか？

つまり、この例題においては数学的帰納法を使う必要性がないのではと考えております。
もし、上記認識が正しければ数学的帰納法でないと証明できないような例題はありますでしょうか？

よろしくお願いします。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/03/23 21:39

> この例題は左辺をΣ(2k-1)としてk=1からnまでの和で計算して、右辺を導くという方法

どんな方法を考えているのかまったくわかりませんが、数学的帰納法を用いない証明は可能でしょう。


> 数学的帰納法でないと証明できないような例題はありますでしょうか？

その問いに答えるのは非常に困難です。

「現在のところ」数学的帰納法でのみ証明が与えられている命題は存在するでしょうが、
はたしてその命題に数学的帰納法を用いる以外の証明方法があるのかは容易にはわかりません。

そしてそのような「別解」があったとして、それが数学的帰納法と本質的に異なる証明であることを示すのもまた難しいでしょう。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

>どんな方法を考えているのかまったくわかりませんが、数学的帰納法を用いない証明は可能でしょう。

具体的には・・

左辺=Σ(2n-1)=2×n/2(n+1)-n=n^2 =右辺　で証明できると思います。

なのに、わざわざ小難しい数学的帰納法をメリットがわかりません。
数学的帰納法を使用するメリットを教えて頂けませんでしょうか？

補足日時：2011/03/23 22:05

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/03/23 22:37

> 数学的帰納法を使用するメリットを教えて頂けませんでしょうか？

Σk の公式を知らなくても答えに辿りつけるところかな。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
たしかにそうですが、右辺の答えを知らなければ辿りつけないような気がしますが。。

お礼日時：2011/03/25 12:21

No.3 回答者： puusannya 回答日時： 2011/03/23 22:53

数学的帰納法は必ずしも使わなければならないというものではありません。

が、使ったほうがうんと証明が簡単になるという利点があります。
あくまでも数学という分野でのみ使える、最高に便利な証明法です。

あなたのご意見で「・・・という方法では証明できないのでしょうか」と書かれていますが、
それを見つける、それを記述するのとどちらが簡単ですかということです。
簡単に見つかるなら直接照明し、見つけにくいときは帰納法を使うというように考えていただければ良いのではと思いますが。
この例題はあくまで帰納法の練習のための問題ですから、どちらが楽か、どちらが早いかということでは捉えないほうがいいでしょうね。

帰納法でなければできない証明というのを探すのがこれまた大変な問題ですね。
直接証明ができませんと言い切れる問題は、今は知りません。

この回答へのお礼

＞この例題はあくまで帰納法の練習のための問題ですから、どちらが楽か、どちらが早いかということでは捉えないほうがいいでしょうね。

そうですね。少し考えすぎだったようなきがします。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/03/25 12:22

No.4 回答者： springside 回答日時： 2011/03/23 23:33

確かに、その例題であれば数学的帰納法を使っても使わなくても証明できますね。

数学的帰納法でないと証明できないとは言い切れないですが、数学的帰納法でないと
証明が困難（少なくとも、証明の糸口を見つけることすら困難）な問題としては、
以下があると思います。

１．a、bは実数で、a^2+b^2=16、a^3+b^3=44を満たしている。nを2以上の
整数とするとき、a^n+b^nは4で割り切れる整数であることを示せ。
（東大、平成9年度前期入試、文系）

２．a=sin^2(π/5)、b=sin^2(2π/5)とおく。このとき、任意の自然数nに
対し、{a^(-n)+b^(-n)}(a+b)^nは整数であることを示せ。
（東大、平成6年度前期入試、理系）

解答は、書店等で東大の問題集を探して下さい。

この回答へのお礼

具体的な問題をご提示頂きありがとうございました。
これを見ると整数であることをどのように表すのが難しそうですね。
とにかく難しい問題ほど効きそうなイメージを持ちました。

お礼日時：2011/03/25 12:27

No.5 回答者： ramayana 回答日時： 2011/03/24 00:12

おっしゃる通り、数学的帰納法でないと証明できない命題を探すのは、難しいかもしれません。

ただ、この論法のすごいところは、有限と無限の橋渡しをしているところだと思います。

「n=1のとき命題が成立する。n=kで命題が成立するなら、n=k+1でも成立する。」という範囲では、無限の概念は使われていません。ところが、結果として、「すべてのn（無限集合！）で命題が成立する」ということが示されるのです。

このすごさは、質問者様にはまだ実感できないかもしれません。もう少し数学を勉強されると、数学的帰納法の一般化として「ツォルンの補題」というのに出会うことになります。これは、さらに強力に有限と無限の橋渡しをする道具です。

我々、日常には無限を経験をすることはありません。有限の感覚しかない我々が無限を論ずるとき、よっぽど気をつけないと、とんでもない間違いを犯すことになります。それを防ぐ指針となるのが、ツォルンの補題であり、その特殊ケースとしての数学的帰納法なのです。

具体的には、ベクトル空間の基底の存在、様々なカテゴリーでの「直積.」概念の存在などでは、ツォルンの補題を使う以外の証明は知られていないと思います。数学的帰納法は、これらを理解するための第１歩なのだと思います。

この回答へのお礼

大学数学の内容はわからないのですが、将来的にその良さがわかると忘れないよう認識しておきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/03/25 12:28

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/03/24 00:18

具体的にはどのような「証明」を念頭においているのでしょうか?

この回答へのお礼

受験数学で出てくる証明問題を念頭においておりました。

お礼日時：2011/03/25 12:29

No.7 回答者： mmk2000 回答日時： 2011/03/24 01:58

この場合はΣの公式がわかっていれば簡単なことですが、たとえばΣの公式が使えないような式だった場合はどうしよう、と考えましょう。

通常、大学の試験で出てくる数学なら単純な問題は出ませんので、見たこともないような式が出てきて、これを証明しなさい、と言われるものです。

その時に、知ってる公式を駆使しても計算できないなら、数学的帰納法を使うことで簡単に証明できたりします。

あくまで例題である、慣れるためにこういう簡単な式を証明させようとしてるだけです。

この回答へのお礼

＞あくまで例題である、慣れるためにこういう簡単な式を証明させようとしてるだけです。

ですよね。わかってはいるのですが、気になってしまいました。
ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/03/25 12:29

No.8 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/03/25 08:31

質問の例の場合は、等差数列の和ですから、ガウスの巧妙な計算法が使えます。

しかし、このような算法がある Σ は、限られています。
1^2 + 2^2 + 3~2 + … + n^2 = (1/6)n(n+1)(2n+1) とういう公式すら、通常は、
数学的帰納法を使って証明します。公式を使うときは、そんなこと忘れてますが。
ここで「通常は」と付けたのは、もちろん逃げであって、ガウスが少年時代に
1 + 2 + 3 + … + n = (1/2n(n+1) を素朴な方法で計算したように、
何処かに誰か天才がいて、種々の Σ 公式を帰納法なしで証明してしまうかも
しれません。それが不可能だと言い切る方法は、たぶん無いと思います。
ただ、今の所それをやった人はなく、「通常は」数学的帰納法を使っているのです。

この回答へのお礼

なるほど！確かにΣの公式は証明が教科書に書かれていませんね。
この方法を使うと証明ができるということで、何故か凄いすっきりしました。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/03/25 12:32