絶対値の単純な質問。

絶対値って | x | という形で表しますよね?
ということは

|-5|=5

これっておかしくないですか?
絶対値は必ず正の数なのに
なんで絶対値| |の中に負の数が入ったりするんですか?
これでは右辺が絶対値みたいになってるじゃないですか

A 回答 (1件)

-5の絶対値は5、5の絶対値は5ですよね。


| |の中は絶対値じゃなくて実数です。だからマイナスの数も入ってきます。
>これでは右辺が絶対値みたいになってるじゃないですか
それで合ってます。
参考になれば幸いです。
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この回答へのお礼

詳しいご説明有難うございました

お礼日時:2011/05/08 09:53

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Q絶対値を含む不等式の証明(2)

お世話さまです。

絶対値を含む不等式の証明にはほんとにお手上げです。
ふつうの不等式の証明はできていたのですが・・・。

次の不等式を証明しなさい。と言う問題で。

|a-b|<=|a|+|b|

私のこたえかた(見よう見まねで全然わかっていないのですが)

|a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0
a^2+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2<=0
0<=0
|a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0
よって|a-b|<=|a|+|b|
等号はa=b=0

絶対、おかしいとは思うのですが、
絶対値の不等式でなにをすればいいのかわかっていません。
上記の問題の解き方と絶対値の不等式の証明はなにをすればいいか
ご教授ください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

たびたび失礼します。

> =-2pq-2|p||q|
> =-2(pq+|p||q|)>=0・・・・(*) 
この部分、
=-2pq-2|p||q|
=-2(pq+|p||q|)<=0・・・・(*) 
の間違いですね。
考え方は大丈夫だと思いますよ。

ただ、失礼ですが、ちょっと解答の書き方も勉強された方がよろしいですね。
ちょっとおこがましいですが、模範的な解答例です。
------------------------------------------------------------------
【問】a,b,cを実数とするとき、不等式|a-b|<=|a-c|+|b-c|を証明しなさい。

【解答その1】(|a-b|<=|a|+|b| が既知でないとします。)
a-c=p, b-c=q とおくと
a-b=(a-c)-(b-c)=p-q …(*)となるので、
与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c|
を証明するには
|p-q|<=|p|+|q| …(1)
を証明すればよい。(∵(1) は、与式にa-c=p, b-c=q を代入したもの)
(|p|+|q|)^2 - |p-q|^2
=|p|^2+2|p||q|+|q|^2 -(p-q)^2
=p^2+2|pq|+q^2 -(p^2-2pq+q^2) = 2(|pq|+pq) >= 0 (∵|pq|>=pq)
∴|p-q|^2 <= (|p|+|q|)^2
よって、|p-q|>=0, |p|+|q|>=0 なので (1)も成り立つ。
従って、与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c| も成り立つ。
等号は pq<=0 のとき成り立つ。
pq<=0 すなわち (a-c)(b-c)<=0 のとき
「a-c<=0 かつ b-c>=0」または、「a-c>=0 かつ b-c<=0」
前者の場合 a<=c かつ b>=c より、 a<=c<=b
後者の場合 a>=c かつ b<=c より、 b<=c<=a
よって等号成立条件は、a<=c<=b または、b<=c<=aの関係を満たすとき、である。
<証明終>

【解答その2】(問1で、|a-b|<=|a|+|b| を証明(既知であると)し、本問が問2であったような場合とします。)
a-c=p, b-c=q とおくと
a-b=(a-c)-(b-c)=p-q …(*)となるので、
与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c| は、
|p-q|<=|p|+|q| …(1)
となる。問1の結果より、(1)は証明されているので
与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c|も成り立つ。
(以下、等号成立条件はその1と同じ) <証明終>
------------------------------------------------------------------
ま、こんな感じでしょうか。
あとは、慣れです。

たびたび失礼します。

> =-2pq-2|p||q|
> =-2(pq+|p||q|)>=0・・・・(*) 
この部分、
=-2pq-2|p||q|
=-2(pq+|p||q|)<=0・・・・(*) 
の間違いですね。
考え方は大丈夫だと思いますよ。

ただ、失礼ですが、ちょっと解答の書き方も勉強された方がよろしいですね。
ちょっとおこがましいですが、模範的な解答例です。
------------------------------------------------------------------
【問】a,b,cを実数とするとき、不等式|a-b|<=|a-c|+|b-c|を証明しなさい。

【解答その1】(|...続きを読む

Q絶対値を含む不等式の証明

お世話様です。

不等式の証明は平方完成して解いてきましたが、絶対値を含む不等式も
それで解けるそうなのですが、なにをしていいのかまったくわかりません。

例題として|a+b|>=|a|+|b|

これの答えはあります。
どんなことをすれば、この絶対値を含む不等式が証明されるかできるだけ
わかりやすく教えて頂ければ幸いです。

納得次第、締め切ります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>(1)|a-b|<=|a|+|b|
これは, すでに証明された |a+b|≦|a|+|b| ・・・(*)
の式で,a,bは実数で何でも良いので,bを-bで置き換えた式
|a+(-b)|≦|a|+|-b|
⇔|a-b|<=|a|+|b| [∵a+(-b)=a-b, |-b|=|b|(≧0) (|-3|=|3|=3など)]
も成立します.

又,場合分けが必要な問題の例ですが,今はあまり適切な例が思いあたらないのですみませんが,例えば
>[∵|ab|≧ab](←abが正,0,負のどの場合も成立し,等号はab≧0のとき)
この場合などです.

あとは
例)x^2-|x|+1>0 が成り立つことを示せ.
これなども,xが正,0,負で分けて示すのが基本的です.

でも実はずるい方法があって
x^2=|x|^2 より,左辺を|x|の2次関数とみなして
x^2-|x|+1=|x|^2-|x|+1=(|x|^2-1/2)^2+3/4≧3/4>0
(平方完成はもう大丈夫と思います.)
とやれば,場合分けはこの問題では避けられます.

>(1)|a-b|<=|a|+|b|
これは, すでに証明された |a+b|≦|a|+|b| ・・・(*)
の式で,a,bは実数で何でも良いので,bを-bで置き換えた式
|a+(-b)|≦|a|+|-b|
⇔|a-b|<=|a|+|b| [∵a+(-b)=a-b, |-b|=|b|(≧0) (|-3|=|3|=3など)]
も成立します.

又,場合分けが必要な問題の例ですが,今はあまり適切な例が思いあたらないのですみませんが,例えば
>[∵|ab|≧ab](←abが正,0,負のどの場合も成立し,等号はab≧0のとき)
この場合などです.

あとは
例)x^2-|x|+1>0 が成り立つことを示せ.
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Q絶対値つき方程式 |2|2x-1|-1|=x-1/3 をとけ。

絶対値つき方程式 |2|2x-1|-1|=x-1/3 をとけ。

この問題をグラフで考えて解いたのですが、解答は2|2x-1|-1=±(x-1/3)として
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(2)2|2x-1|-1=-x+1/3を解いて、x=2/3,2/9
よって、解はx=8/9,2/3と結論づけているのですが、どうしてそういえるのでしょうか。
また、解答は(1)を解く際に、|2x-1|=a とおいて、x=(1+a)/2,(1-a)/2だから、
(1)の解はx=8/9,4/15 と結論づけています。面倒な解答だと思い、(1)を解く時の方法として、他にどのような方法をとれるのか。

Aベストアンサー

単純に4つに場合分けしたほうが簡単では?

(1) 2x-1≧0、2(2x-1)-1≧0 のとき、2(2x-1)-1=x-1/3
(2) 2x-1≧0、2(2x-1)-1<0 のとき、-(2(2x-1)-1)=x-1/3
(3) 2x-1<0、-2(2x-1)-1≧0 のとき、-2(2x-1)-1=x-1/3
(4) 2x-1<0、-2(2x-1)-1<0 のとき、-(-2(2x-1)-1)=x-1/3

これを整理すれば、

(1) x≧1/2、x≧3/4 のとき、x=8/9
(2) x≧1/2、x<3/4 のとき、x=2/3
(3) x<1/2、x≦1/4 のとき、x=4/15
(4) x<1/2、x>1/4 のとき、x=2/9

この中で条件に合うのは、x=8/9とx=2/3だけです。

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教えて下さい。

Aベストアンサー

まず一時不等式を解かなければ。
方程式と同じ式変形なので難しくないと思いますが、
両辺に負の数をかけると不等号がひっくり返りますので、注意。
そうするとx<2.5になります。

絶対値5以下の整数はわかりますか?
-5から5までの整数(両端含む)のことですよ。
-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5です。
そのうち不等式の解を満たすものなので3,4,5だけがはずれます。

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Aベストアンサー

それでいい。
こゆのは、場合分けして絶対値の無い式にする。

|x-1| + |x| + |x+1| < 6

⇔( x < -1 かつ -(x-1) -(x) -(x+1) < 6 )または
 ( -1 ≦ x < 0 かつ -(x-1) -(x) +(x+1) < 6 )または
 ( 0 ≦ x < 1 かつ -(x-1) +(x) +(x+1) < 6 )または
 ( 1 ≦ x かつ +(x-1) +(x) +(x+1) < 6 )

⇔( x < -1 かつ x > -2 )または
 ( -1 ≦ x < 0 かつ x > -4 )または
 ( 0 ≦ x < 1 かつ x < 4 )または
 ( 1 ≦ x かつ x < 2 )

⇔( -2 < x < -1 )または
 ( -1 ≦ x < 0 )または
 ( 0 ≦ x < 1 )または
 ( 1 ≦ x < 2 )

⇔ -2 < x < 2

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次の不等式が成り立つことを証明せよ。
|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b| 

よろしくお願いします。  

Aベストアンサー

a≧0かつb≧0のとき |a+b|=a+b=|a|+|b|
a≧0かつb≦0のとき |a+b|=|a|-|b|≦|a|+|b|
a≦0かつb≧0のとき |a+b|=-|a|+|b|≦|a|+|b|
a≦0かつb≦0のとき |a+b|=-|a|-|b|≦|a|+|b|
以上より、|a+b|≦|a|+|b| ……(1)

ここで(1)において、a→a+b、b→-bと置換すると、
|a+b-b|≦|a+b|+|-b|
⇔|a|-|b|≦|a+b| ……(2)

(1)(2)より示された。(証明終わり)

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解答は、2x^2+2ax-1=±(x^2-1)と絶対値をはずして、a={±(x^2-1)-2x^2+1}/(2x)として、
グラフの交点の数が、解の個数になるという解法でしたが、1つ分からないのは、絶対値をはずすとき
は、絶対値の中がプラスなのかマイナスなのかの条件がつくはずだと思うのですが、また、これによって
xの範囲の条件が付くのでこれに伴いグラフもかわってくると思います。解答ではそこのところについてふれられていないので、絶対値をはずすときの条件はいらないのか、もしいらないとしたら、どうしてグラフに影響しないのか教えてください。
もう少し、具体的に言うと、2x^2+2ax-1=±(x^2-1) となるのは、(2x^2+2ax-1>=0,x^2-1>=0)または、(2x^2+2ax-1=<0,x^2-1=<0)の条件が付き、このもとでのグラフをかかなければならないと思うのですが・・。よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

>絶対値をはずすときは、絶対値の中がプラスなのかマイナスなのかの条件がつくはずだと思うのですが

簡単のために、2x^2+2ax-1=mとしよう。
そうすると問題は、|m|=|x^2-1| となる。

君の言うように処理してみよう。

(1) m≧0の時、m=|x^2-1| から、m=x^2-1、or、1-x^2
(2) m≦0の時、-m=|x^2-1| から、-m=x^2-1、or、1-x^2 つまり、m=1-x^2、x^2-1。
となって、m≧0とm≦0の場合わけは、不要になる。
つまり、解答にあるように、初めから m=±(x^2-1)で良いという事になる。

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不等式2(1-x)≧3(x-2)を満たす整数xのうち、絶対値が3以下のものは何個あるか。

この問題の解き方教えてください。

Aベストアンサー

2(1-x)≧3(x-2)
2-2x≧3x-6
8≧5x
x≦8/5
絶対値が3以下の整数は
-3,-2,-1,0,1,2,3
です。
じゃあ、何個ある?

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この問題の解き方を教えてください。

Aベストアンサー

この種の絶対値方程式はグラフ的に解けば交点が簡単に求まり、そのx座標から解が求まります。

添付図のように
 y=|x-1| ←水色のグラフ
 y=|x-2| ←紫色のグラフ
のV字型グラフを足し合わせると
 y=|x-1|+|x-2| ...(★) ←黒色のグラフ
が得られます。このグラフは問題の絶対値方程式の左辺のグラフとなります。
また、
 y=x ...(▲) ←青線のグラフ
このグラフは絶対値方程式の右辺のグラフとなります。
(★)と(▲)のグラフの交点はグラフからA(1,1)とB(3,3)の2つです。
従って、交点A,Bのx座標から、与絶対値方程式の解は
 x=1,3
と求まります。


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