初めて質問します。
一般に標準偏差の計算は,母集団=標本集団とすると
(測定値-平均値)の2乗の和をデータ数で割ったものの平方根だと思います。
(EXCELのSTDEVP関数もこの計算をしているようです。)
ところで,大学のときに習った平均自乗誤差は,
母集団=標本集団の場合
(測定値-平均値)の2乗の和をデータ数の2乗で割ったものの平方根
ただし,母集団>標本集団の場合は,
(測定値-平均値)の2乗の和を
(データ数*データ数-1)で割ったものの平方根
以上のように習いました。

そこで質問です。
1.分母が標準偏差は1乗で,平均自乗誤差は2乗なのはなぜでしょうか?
2.母集団>標本集団の場合は,(データ数*データ数-1)になるのはなぜでしょうか?
3.EXCELには母集団=標本集団のSTDEVP関数と
母集団>標本集団のSTDEV関数がありますが,母集団>標本集団の場合の標準偏差の計算というのはどんな計算をしているのでしょうか。
よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

diviationは、deviation の誤りです。

ディビエーション、と日本語で発音していますので、つい。

>「標準誤差はサンプルのバラツキぐあい」標準偏差はサンプルの平均値のバラツキぐあい」とありますが,標準偏差はサンプルのバラツキ 標準誤差はサンプルの平均値のバラツキ」の誤りと理解してよろしいですか?
私は、「バラツキぐあい」と表現しましたが、バラツキとの違いが分かりません。

>誤りと理解して
同一ですか、であればyes、でしょう。テキストは、「バラツキ」と表現してあるでしょうが、その様子と言う意味を込めてバラツキぐあい、としました。
 が誤りなら、バラツキぐあいとバラツキの違いを書き込んでくださればお答えできるでしよう。

 なお、バラツキにしても、標準偏差からだけでは、何もわかりません。標準偏差が10と分かっても、バラツキが大きいのか小さいのか判断できないからです。
 無意識にせよ、平均値を念頭においているハズデス。

>数学的にもう少し説明するとどうなるのでしょうか?
専門家、としたので、誤解されていると想うのですが、数学的な素養はありません。学生時代に、統計学の試験のときに教科書持ち込みだったのですが、どこを写せば良いかわからず、終了まで教科書をめくるだけでした。
 その後、有意差検定をせざるを得なくなり、標準偏差や標準誤差をかじりました。そこで、学生時代に出来が悪かっただけ、統計学のどの部分が分かりにくいか、だけは理解しているつもりです。そういう意味の専門家です。
 テレビを楽しむときに、どのチャンネルで目的の番組を見れば良いかは十分に理解していますが、そのチャンネルを見れば、何故その番組をみることができるのか、というテレビの仕組みは理解しなくても良い、というのが私の立場です。

 ただ、なぜnで割るか、については、どの教科書にも書いてないのでは。
 それが定義だから、と答えることは可能です。逆に考えれば、標準偏差にしても、平均値±標準偏差には、サンプルの68%が入ります。が、68%しか入らない、とも言えます。標準偏差の2倍、すなわち、標準偏差±2×標準偏差なら、95%のサンプルが入ります。その方がバラツキを表しやすい、とも考えられます。
 したがって、なぜそのような数式になるのか、というよりも、その使い方を誤らないようにさえすれば良い、というのが私の姿勢です。標準誤差を経験するのは、グラフのデータを表すときに、『バラツキが小さい』と感じて、脚注を見ると標準誤差だった、ということぐらいです。
 数学的な説明については、申し訳有りませんが、私の手に余ります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

 私が普段使う誤差論に関する教科書にも,まるで定義であるかのように,nで割ると書いてあります。
(他の教科書に当たっても定義であるかのような説明でした。)
 本当にありがとうございました。今までの疑問が解けて,本当にすっきりしました。

お礼日時:2003/10/01 11:26

>分母が標準偏差は1乗で,平均自乗誤差は2乗なのはなぜでしょうか


 標準偏差は、母集団から取り出した一つ一つのサンプルのバラつきを表しています。
 標準誤差は、母集団から取り出したサンプルの平均値をまず求めます。この操作をすると、取り出したサンプルが、その都度異なるので、平均値もややズレます。すなわち、この平均値のばらつきを示すのが、標準誤差です。
 繰り返しになりますが、標準誤差は、サンプルのバラつき具合。標準偏差は、サンプルの平均値のバラつき具合です。サンプルをサンプルの平均値にするには、データ数で割る、ということになりませんか。したがって、標準誤差を求めるには、標準偏差を、もう一度データ数で割ることになります。
 私は、グラフに表すとき、平均±標準偏差を用いますが、外国の論文を読んでみると、平均±標準誤差で表す人が多いようです。そうすると、バラつきが少ないように見えます。
ご質問の意味を取り違えていたら、ご容赦を


>EXCELには母集団=標本集団のSTDEVP関数と
 母集団の標準偏差はSTDEVP、母集団からサンプルを選んだ場合は標本標準偏差でSTDEVを用いています。
 いつも混乱するのは、標本標準偏差は、,(データ数*データ数-1)で割った不偏標準偏差を用いますが、これは、Partial Standard Diviationの英訳でしょう。ですから、EXECELでは、標本標準偏差(不偏標準偏差)には、PのついたSTDEVPを使いたくなるのです。しかし、同じデータで計算すると、STDEV<STDEVPにはならず、逆になります。ですから、前に書いたように、Pが最後に無いSTDEVが標本標準偏差です。

 EXCELがこんな錯乱をおこしそうな関数にしたのかは知りません。いつも頭にきています。

この回答への補足

非常にわかりやすい説明ありがとうございました。
標準偏差と標準誤差のイメージがつかめ,頭がすっきりした気分です。(笑)
追加の質問ですがよろしいでしょうか?
1.「繰り返しになりますが・・・」以下の文ですが本文には,「標準誤差はサンプルのバラツキぐあい」標準偏差はサンプルの平均値のバラツキぐあい」とありますが,標準偏差はサンプルのバラツキ 標準誤差はサンプルの平均値のバラツキ」の誤りと理解してよろしいですか?
2.サンプルを平均値にするにはデータ数で割る だから標準偏差をデータ数で割れば,標準誤差になるという説明はイメージがつかめ,非常にわかりやすいのですが,数学的にもう少し説明するとどうなるのでしょうか?サンプルの平均値は,サンプルの総和をデータ数で割るのと同様に,標準偏差をデータ数で割るだけでなく,標準偏差の総和をデータ数で割るような気がするものですから。(馬鹿げた質問かもしれませんが・・・)
補足の説明をしていただけると幸いです。

補足日時:2003/09/30 13:22
    • good
    • 0

 統計学では、母集団について考えます。

ですから、全てのサンプルが使える、たとえば1年2組の生徒の身長の平均値と標準偏差については、これは全ての生徒の身長を使いますので、平均値も、標準偏差も、誰が計算しても同じ値になります。

 それでは、世界の小学生の身長については、どうでしようか。サンプル数が多すぎて、どうしようもありません。そこで、世界の小学生から適切な方法(現実には、これが難しい)でサンプルを選び、その平均値と標準偏差を、母集団である世界の全ての小学生の身長の平均値と標準偏差、とします。
 標本から平均値と標準偏差は、母集団の推定なのです。これは、すべてのサンプルから、どれを計算用の値として用いるかによって、大きく左右されます。そこで、その誤差を少なくするために、(データ数*データ数)で割ったものではなく、(データ数*データ数-1)で割ったものを用いて、やや広く推定値の幅をとり、推定が外れる危険性を少なくしています。

 (データ数*データ数-1)部分の-1が、-1ではなく、-2でも、-3でもないのは・・・、と悩んだこともあるのですが、-1が最適だということは、ある本によれば、数学的に証明できるのだそうです。
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qエクセルで標準偏差を

エクセル2000に「標準偏差」を導き出す関数ってありましたっけ。
試験の結果を出すのに「標準偏差」を使おうと思うのですが、「標準偏差」って
確か、「受験者数」、「各個人の点数」、「平均点」なんかを使っていたような
気がするんですが、エクセル2000にそういう関数はあったでしょうか?
また無い場合で、その関数の組み方をどなたかご存知の方がいらっしゃいましたら、教えてください。

Aベストアンサー

標準偏差は、
STDEV関数で求めます。

偏差値=(得点 - 平均点)÷標準偏差×10+50

Microsoftのサポート情報に
「偏差値を求める方法」
があります。参考URL

参考URL:http://www.microsoft.com/japan/support/kb/articles/J014/2/82.htm

Q正規母集団でないときの標本平均と標本分散の独立性

こんにちは。

正規母集団であるとき、標本平均と標本分散の分布が独立であることは、直交変換によって証明することができますが、

非正規母集団であるときは、標本平均と標本分散の独立性は必ずしも成り立たないということでよろしいでしょうか。

また、正規分布以外の分布で、標本平均と標本分散が独立であるような母集団分布をご存知であれば教えて頂きたいのですが。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

No.1です。
2次のモーメントが収束する分布ならとりあえずなんでもOKなのではと思いますが。
独立に同一の分布に従うX_iでは、任意のiについて
E(X_i) = μ (共通)
V(X_i) = σ^2 (共通)
Cov (X_i, X_j) = 0 (i≠j)
なので、正規分布で直交変換を使った証明をしたのなら、その議論がそのまま使えるのではないかと思います。

Qエクセルのグラフ;各々のポイントに異なった標準偏差の入れ方

上手く説明できないのですが、、、。教えて下さい。

エクセルの折れ線グラフに標準偏差の値を入れ込む方法は判るのですが、一つの値を入れ込むと、すべてのポイントに反映されてしまいます。各ポイントで、違った値の標準偏差を入れたいのですが、どうすればよいでしょうか?
宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

先ず、例えば、A列に折れ線グラフ用の数値を入れます。B列に、標準偏差とする数値をA列の数値の横に入れます。
次に、折れ線グラフを設定します。
さらに、「データ系列の書式設定」 → 「Y誤差範囲」 → 「誤差範囲」 → 「指定」でB列を設定します。
これで、各ポイントに違った値の標準偏差を入れることが可能になります。
なお、これは各ポイントと標準偏差の値だけでグラフを作成する一例です。

Q正規母集団の標本平均と標本分散の独立性

X_1,…,X_nを正規母集団から取った大きさnの標本とします。
簡単のため、母集団の平均は0、分散は1と仮定します。

このとき標本平均X=(X_1+…+X_n)/nと
標本(不偏)分散s=((X_1-X)^2+…+(X_n-X)^2)/(n-1)
を考えます。

Xは平均0、分散1/nの正規分布に、
(n-1)sは自由度n-1のχ^2分布に従うと思いますが、
このXとsの独立性の証明はどうやったらよいのでしょうか?

結合分布の計算にX_i^2が混じるので大変に面倒です。
非芯χ^2分布の特性関数の計算などを使うのでしょうか。
方針は立つものの、あまりに煩雑な計算になりそうで尻込みしています。
簡便な計算法をご存知であれば教えていただきたく思います。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

申し訳ありませんが、行列を使って書きます。あと、ちょっと難しめです。

u, v を正規分布に従う平均0の確率変数(スカラー)とします。この2つが独立である条件は、E[uv]=0 であることはご存じだと思います。

今、x=(x1,x2,...,xn)' を標準正規分布に従う確率変数ベクトルとします。したがって、E[x]=0, E[xx']=I です。また、i=(1,..,1)' とします。すると
平均 X = 1/n i'x
分散 s = 1/(n-1) (x-iX)'(x-iX)
と書けることが分かります。ここで
x-X = x - 1/n ii'x
= (I - 1/n ii')x
であり、
(I-1/n ii')'(I-1/n ii') = (I-1/n ii')
であることから
(n-1)s = x'(I-1/n ii')'(I-1/n ii')x
と書くことが出来ます。ここで u=i'x, v=(I-1/n ii')x とおくと、u, v 共に正規分布に従い、
E[uv'] = E[i'xx' (I-1/n ii')']
= i'E[xx'](I-1/n ii')'
= i'(I-1/n ii')' = 0
となるため、u, v は独立であることが分かります。
したがって、独立な確率変数から計算された統計量はやはり独立なので、X と s は独立になります。

申し訳ありませんが、行列を使って書きます。あと、ちょっと難しめです。

u, v を正規分布に従う平均0の確率変数(スカラー)とします。この2つが独立である条件は、E[uv]=0 であることはご存じだと思います。

今、x=(x1,x2,...,xn)' を標準正規分布に従う確率変数ベクトルとします。したがって、E[x]=0, E[xx']=I です。また、i=(1,..,1)' とします。すると
平均 X = 1/n i'x
分散 s = 1/(n-1) (x-iX)'(x-iX)
と書けることが分かります。ここで
x-X = x - 1/n ii'x
= (I - 1/n ii')x
であり、
(I-1...続きを読む

Qエクセルで偏差値(標準偏差)を出す方法

はじめまして
標準偏差の原理はわかるのですが、エクセルを使って、標準偏差を出す方法を教えて頂きたいのですが、宜しくお願い申し上げます。
例えば、テストで全員50人の点数が以下の場合、どの関数をどのように使えば宜しいのでしょうか?
100点:2人
90点:5人
80点:7人
70点:17人
60点:6人
50点:9人
40点:0人
30点:3人
20点:1人
10点:0人
0点:0人

Aベストアンサー

#03です。
EXCELの標準偏差を求めるSTDEV関数はサンプリング集団に対する標準偏差(不偏標準偏差)を求める公式を用いています。

テスト点数の標準偏差のようにデータが母集団全体になる場合はSTDEVP関数を用いるのが正しいようです。
 =STDEVP(A1:A100)

Q平均値と最小自乗平均値

いままで、なんとなくわかったつもりでいましたが、
いざ,自分が使おうとすると考え込んでしまって
どうすればいいのか、頭がゴチャゴチャしてきました・・・。
この二つの意味の違いと、どういう時に使い分けるのかを
教えてください。

Aベストアンサー

まず、補足要求させてください。
できたら、最小自乗平均値の定義を教えてください。

以下、推測に基づいて書いちゃいますが、

最小自乗平均値というのは、おそらく、
ある中央値みたいなのを1つ決めると、それと各データとの差の2乗を1個1個足し算した結果が最小になるということでは?
すると、要は、最小二乗法で近似直線を求めるのと同じ考え方になりますね。

さらに、その仮定に基づいて書きますと、
正規分布(ガウス分布)か、あるいはそうでなくても、とにかく左右対称な分布ならば、単純平均値と最小自乗平均値は正確に同じ値になるはずです。

ところが、左右対称とは大きくかけ離れた分布であれば、単純平均値と最小自乗平均値は、かなり異なる値になるでしょうね。

単純平均値を用いずに、わざわざ最小自乗平均を用いるのはなぜか、というのが、ご質問の趣旨ですね?

要はこういうことなのでは?
単純平均値に対して±標準偏差を考えると、標準偏差の値が大きくなっちゃうじゃないですか。
最小自乗平均に対して±標準偏差を考えれば、当然、標準偏差の値が小さくて済みます。

ですから、例えば、あるもののばらつき許容を考えるときに、許容範囲を不必要なまでに広げる必要がなくなるというのが、最小自乗平均の利点だと思います。
というか、むしろ、最小自乗平均を使うほうが、工業的には便利そうですよね。

ただ、単純平均値も、データ全体のことを良く表している数値ですし、計算方法も万民が知っていて理解しやすいですから、捨てがたいのでしょうね。

まず、補足要求させてください。
できたら、最小自乗平均値の定義を教えてください。

以下、推測に基づいて書いちゃいますが、

最小自乗平均値というのは、おそらく、
ある中央値みたいなのを1つ決めると、それと各データとの差の2乗を1個1個足し算した結果が最小になるということでは?
すると、要は、最小二乗法で近似直線を求めるのと同じ考え方になりますね。

さらに、その仮定に基づいて書きますと、
正規分布(ガウス分布)か、あるいはそうでなくても、とにかく左右対称な分布ならば、単...続きを読む

Qエクセル 条件を指定した標準偏差の出し方

エクセルで、『データの中から0以上の物のみを指定して、それらの標準偏差を求めるやり方』がわからず困っています。
例えば、

00022003000010002000

というふうにデータが並んでいましたら、0以外の『22312』を指定してそれらの標準偏差を出したいのですが、並び替える以外でどうやってやればよいかがわかりません。
どなたか御教授のほど、お願いします。

Aベストアンサー

例データ
A列   B列
11
20
32
20
53
ー0
1.5165750895
ー0
ー2

ー1.516575089
A7の式は =STDEV(A1:A5)
ーー
空きのセルB11に
=STDEV(IF(B1:B9<>0,B1:B9,""))
といれて、SHIFT+CTRL+ENTERの3つのキーを同時押しする。
(配列数式)
結果
1.516575089
とA列の標準偏差と一致するので、上記配列数式は、0の行を
無いものとして、扱ってくれていると結論付けた次第です。

Q大至急お願いします! 統計学の問題です。 N(170, 5の2乗)に従う母集団から100個の標本を抜

大至急お願いします! 統計学の問題です。
N(170, 5の2乗)に従う母集団から100個の標本を抜き取る。以下の問いに答えよ。
(a) 標本平均値(x)が170,6 以上となる確率
(b) 標本平均値(x)が169,5以上170,3以下となる確率

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

No.1です。

>全然理解していなくて全く解けないのでどなたか助けてください!

もう一つの質問への回答にも書きましたが、「正規分布」は全ての統計の基本です。
標準偏差を「σ」として、
  平均値± σ の範囲に、全体のデータの 68.3% が入る
  平均値±2σ の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る
  平均値±3σ の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る
あるいは「有意水準=危険率(←→信頼度)」を基準にして
  平均値± 1.65σ の範囲内に、全体のデータの 90.0% が入る ←これが「信頼度90%=有意水準10%」
  平均値± 1.96σ の範囲内に、全体のデータの 95.0% が入る ←これが「信頼度95%=有意水準5%」
  平均値± 2.57σ の範囲内に、全体のデータの 99.0% が入る ←これが「信頼度99%=有意水準1%」
というのが、推定にしても検定にしても基本です。

「N(170, 5の2乗)」というのは、「平均値:170、分散:5の2乗 = 標準偏差:5 」の正規分布ということです。
上の言い方をすれば、
  170 ± 5 の範囲に、全体のデータの 68.3% が入る
  170 ± 10 の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る
  170 ± 15 の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る
ということです。

 以上の意味が分からなければ、あるいは理解があやふやであれば、「推計統計」以前の、基本的な「記述統計」を最初から復習してください。「推計」のベースとなる「統計データの意味・特性」が理解できていないということですから。

 次に、この母集団からサンプルを取り出したときに、そのサンプルは母集団の特性を引き継ぎます。サンプル数が少ないとバラツキが大きいので「t分布」を使いますが、サンプル数を増やすとバラツキが小さくなっていきます。その「サンプル数」に相当するのが「自由度」です。(母集団の特性が分からないときも「t分布」を使います)
 サンプル数 n がある程度以上なら(一般には 30 程度以上)、母集団を N(μ, σ^2) とすると、任意に取ってきたサンプルの平均は N( μ, σ^2/n) で正規分布するとみなせます。

 与えられた問題は
(a) 標本平均値(x)が「170.6 」以上となる確率
(b) 標本平均値(x)が「169.5 以上 170.3 以下」となる確率
ですね? 小数点とカンマは区別してください。
 これは、母集団の平均値、分散から、サンプル100個の標本平均値(x)の期待値と分散を求め、それが正規分布するとして上記の値となる確率を求めます。

(a) サンプルの分布は N(170, 0.5^2) とみなせます。
  X ≧ 170.6
 となる確率は、X ≧ μ + 1.2σ に相当するので、標準正規分布表で、1.2≦Z に対する確率を読み取ります。0.1151 かな。

 「t値」とみなして
  t=(170.6 - 170)/(5/√100) = 1.2
としても同じ。

(b) 同様に、サンプルの分布は N(170, 0.5^2) とみなせるので、
  169.5 ≦ X ≦ 170.3
 は、μ - 1.0σ ≦ X ≦ μ + 0.6σ に相当するので、標準正規分布表で、-1.0≦Z≦0.6 に対する確率を読み取ります。0.567 かな。

 これも「t値」とみなして
  t=(169.5 - 170)/(5/√100) = -1.0
  t=(170.3 - 170)/(5/√100) = 0.6
としても同じ。

No.1です。

>全然理解していなくて全く解けないのでどなたか助けてください!

もう一つの質問への回答にも書きましたが、「正規分布」は全ての統計の基本です。
標準偏差を「σ」として、
  平均値± σ の範囲に、全体のデータの 68.3% が入る
  平均値±2σ の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る
  平均値±3σ の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る
あるいは「有意水準=危険率(←→信頼度)」を基準にして
  平均値± 1.65σ の範囲内に、全体のデータの 90.0% が入る ←これが「信頼度90%=有意水準...続きを読む

Qエクセルの標準偏差を用いた%計算を教えてください。

実験データのまとめ方なのですが、A1:0.1、A2:0.11、A3:0.12という基準値とB1:0.2、B2:0.21、B3:0.22というサンプル測定値がでたとします。
そこで、まずA1-A3の平均値±標準偏差とB1-B3の平均値±標準偏差を求めて、(A1-A3の平均値±標準偏差/B1-B3の平均値±標準偏差)×100をして%計算をしたいのです。

やってみても±という文字がいけないのか、#VALUE!となってしまいます。ホトホト困っておりまして、ご教授よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

訂正の訂正
(a/b の標準偏差)^2 = ((△a/b)^2 + (a・△b/b^2)^2
△b を忘れてました。たぶんこれで間違いは無いと思うのですがどうか参考URLの伝播の式を理解して適用してください。

Q統計学 標本平均の自乗の期待値について証明

統計学に関しての質問です。
あまり数学が得意でないため基礎的な質問となってしまうかもしれませんがご容赦ください。

質問内容は、E(エックスバーの自乗)=(σの自乗)/n+(μの自乗)をどのように証明するのかです。
このエックスバーは標本の平均です。
ちなみにE(xiの自乗)=(σの自乗)+(μの自乗)となっているところまでは理解できています。また式中のiは下付けです。

教科書では
σの自乗=E{(x-μ)自乗}=E(x自乗)-{E(x)}自乗
=E(x自乗)-μの自乗 によると
と書いてあるんですが、式をどういじくってもわかりませんでした。

かなりわかりにくい式で大変お手数をおかけしますがどなたかご教授いただけると幸いです。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>E(Σxi^2 + 2*ΣΣ(xi*xj))/n^2 (1つ目のΣはi=1~n, 2つ目のΣはi=1~n-1, 3つ目のΣはj=i=1~nの和)

これは、次のような表を考えるとわかるでしょう。
(表がずれていたらすみません)

  1   2  ……  j  ……  n
1 x1*x1 x1*x2 …… x1*xj …… x1*xn
2 x2*x1 x2*x2 …… x2*xj …… x2*xn
:          :     :
:          :     :
i xi*x1 xi*x2 …… xi*xj …… xi*xn
:          :     :
:          :     :
n xn*x1 xn*x2 …… xn*xj …… xn*xn

上の表でxi*xiとなるのは幾つあるでしょうか?
xi*xj(i≠j)となるのは幾つあるでしょうか?

> > (ΣE(xi^2) + 2*ΣΣE(xi)*E(xj))/n^2
> この式に E(xi^2) = σ^2 + μ^2  
> を代入していけばいいのでしょうか?
については、そのとおりです。

>E(Σxi^2 + 2*ΣΣ(xi*xj))/n^2 (1つ目のΣはi=1~n, 2つ目のΣはi=1~n-1, 3つ目のΣはj=i=1~nの和)

これは、次のような表を考えるとわかるでしょう。
(表がずれていたらすみません)

  1   2  ……  j  ……  n
1 x1*x1 x1*x2 …… x1*xj …… x1*xn
2 x2*x1 x2*x2 …… x2*xj …… x2*xn
:          :     :
:          :     :
i xi*x1 xi*x2 …… xi*xj …… xi*xn
:          :     :
:          :     :
n xn*x1 xn*x2 …… xn*xj …… xn...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報