X + 3 = 3^x

この方程式の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

y=f(x)=x+3-3^x


f'(x)=1-(3^x)log(3)
f'(x)=0とするxを求めると x=xo=-log(log(3))/log(3)
x<xoでf'(x)>0, この範囲で単調増加
x>xoでf'(x)<0, この範囲で単調減少
最大値f(xo)≒2>0
f(-4)<0,f(-2)>0なので-4<x<-2の範囲に1つの解x1が存在。
f(1)>0,f(2)<0なので1<x<2の範囲に1つの解x2が存在。
解はこれらx1とx2の2つのみ。
添付図はy=f(x)のグラフでx軸との交点のx座標x1,x2がf(x)=0の2つの解となります。

x1とx2は解析的には解くことが出来ません。つまり初頭関数を使って解を表すことが出来ません。高校の数学範囲では理論的な式としては解けないが、ニュートン法などの数値計算法で近似値を求めることが出来て、
x1=-2.961356740071…
x2= 1.335085495966…
と求まります。

大学の数学レベルになりますが特殊関数「Lambert W関数W(x),W(k,x)=W_k(x)」(ランベルト関数)
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.h …
http://www.mathworks.com/help/toolbox/symbolic/l …

x1=-W(-log(3)/27)/log(3)-3
x2=-W_-1(-log(3)/27)/log(3)-3
詳しくは参考URLを見て下さい。

参考URL:http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%2B3 …^x%2Cx
「数II 指数方程式の解き方を教えてくださ」の回答画像2
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この回答へのお礼

微積分を使って解くのかな・・・と少し思っていたので、説明ありがとうございました!
近似値が解なのですね。はっきりとした数字が答えかと思っていました・・。
参考のURLも参考になりました。私が作ったグラフと照らし合わせて、ここまでは、考え方あってるなというのがはっきりとわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/18 04:14

原題は x + 3 = 3^x でしょうか?


数II の段階じゃ、「不動点のおはなし」は未修得かな?
  ↓
参考 URL 「 1 次元の不動点定理」

不動点に収束させる手…

 (1) f(x) = -3 + 3^x とすれば、
  x = f(x)
 (2) g(x) = LN(x+3)/LN(3) とすれば、
  x = g(x)

たとえば (1) をスプレッドシートで…。
  x[i] から f(x[i]) を勘定。
  x[i+1] へ f(x[i]) を代入して、上と同じ勘定。
これを延々と続ければ、有効桁数内にて x[m] と f(m) が一致、つまり不動点へ収束する。
EXCEL (15 桁?) だと、x[i] = 1 からスタートして、15 回目あたりで -2.9613... に収束します。
   

参考URL:http://www7b.biglobe.ne.jp/~fukagawa/documents/s …
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この回答へのお礼

1 次元の不動点定理に関しては、全く知識がありませんでした。参考URLも役に立ちました。まだ、完全には理解しきれていないので、何度も参考URLを読み直そうと思っています。でも、178-tallさんの説明で、不動点に収束させて、答えが見つかるということは分かりました。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/18 04:09

一応確認しますが、大文字のXと小文字のxは同じ未知数ですよね?


だとしたらこの問題は解析的には解けませんね。近似解しか求められません。
グラフを描いてみれば分かります。
y=3^xの指数関数の曲線とy=x+3の交点です。1<x<2ということしか分かりません。
高校2年生で習う範囲を超えます。
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この回答へのお礼

そうです、大文字と小文字は同じ未知数です。
高2レベルじゃないってわかって、安心しました。立ち読みした問題集に載っていた問題で、私が問題をきっちりと読んでなかったせいだと思います。xを求めるのではなく、グラフを書く問題だったのかもしれないと、今、思っています。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/18 04:20

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Q連立一次方程式の解全体にはどんな種類があるのでしょうか?

連立一次方程式の解全体にはどんな種類があるのでしょうか?


画像に問題が添付してあります。


一つ目の
{x =C1 より (x) (C1)
{ y =C2 (y) = (C2)
{ z =C3 (z) (C3) 」

それと後3つあるみたいです。 わかる方いましたらご教授お願いします!

Aベストアンサー

3元の連立方程式に関する問いが難しければ,まず2元で考えてみましょう。

2つの平面の共通部分は
A.平面(2つの平面が一致しているとき)
B.空集合(2つの平面が平行なとき)
C.直線(それ以外のとき)
ですね。

それでは3つの平面の共通部分はどうなるかと言えば,2つの平面の共通部分ともう一つの平面の共通部分です。
A.2つの平面の共通部分が平面のときからは,
A1.平面
A2.空集合
A3.直線
が出てきて
B.2つの平面の共通部分が空集合のときからは
B1.空集合
だけですね。
C.2つの平面の共通部分が直線のときからは
C1.空集合(直線と平面が平行なとき)
C2.点(それ以外のとき)

結局,
1.平面
2.空集合
3.直線
4.点
になることが分かりました。

Q3次方程式X^3+3X^2-8X+k=0 (kは実数)がX=2を解にも

3次方程式X^3+3X^2-8X+k=0 (kは実数)がX=2を解にもつとき、この方程式の残りの解の和を教えてください。解き方もお願いします。

Aベストアンサー

まず、kの値を出します。
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X=2を解にもつということは、(X-2)でくくれるということですので、割り算をすると、
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そして、割り算をして出てきた(X^2+5X+2)の解が残りの解となるわけです。
2次方程式の解と係数の関係から、残りの解の和は「-5」
となります。

Q2次方程式の解の種類

2つの2次方程式9x2+6ax+4=0…(1),x2+2ax+3a=0…(2)が次の条件を満たすように定数aの値の範囲を定めよ。
(1)少なくとも一方が虚数解をもつ

(2)(1)のみが虚数解をもつ

問題集の解答には
(1)の場合は「D1<0かつD2<0で解きなさい」と書いてあります。
(2)の場合は「D1<0またはD2<0で解きなさい」と書いてあります。
皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
皆様のお力をお貸しください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

>皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
この「解答」を丸々覚えても、ほとんど意味はないと思います。

いまの問題は、「虚数解をもつ」と「虚数解をもたない=実数解をもつ」の 2つがありますね。
一つずつ、言い換えていくことを考えます。
★(1)少なくとも一方が虚数解をもつ
少なくとも一方ということは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)
・(2)だけが虚数解をもつ((1)は実数解をもつ)
・(1)も(2)も虚数解をもつ

という場合分けができます。

ところが、ここには現れていない組み合わせがありますね。
それは、「(1)も(2)も実数解をもつ」という組み合わせです。
これは「少なくとも一方が虚数解をもつ」ということの否定になっています。

解き方は 2とおりあります。
・一つ目は、上に挙げた 3つの組み合わせを満たす範囲をそれぞれ求めて、
その範囲を足し合わせる方法です。
ただし、一番目と二番目の範囲を足し合わせると、三番目の範囲はそこに含まれることになります。

・もう一つは、「(1)も(2)も実数解を持つ」という範囲を求めて、全体(実数全体)からその範囲を除く方法です。


★(2)(1)のみが虚数解をもつ
これは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)

ということですから、この両方を満たす範囲を素直に求めます。

範囲を求めるところでは、数直線を用いて考えると考えやすいと思います。


と考えると、問題集の解答は間違っていませんか?
D1、D2はおそらく判別式のことだと思いますので、
(1)の場合は、D1< 0 または D2< 0 で解きなさい。
(2)の場合は、D1< 0 かつ D2≧ 0で解きなさい。

ではないでしょうか。

こんばんわ。

>皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
この「解答」を丸々覚えても、ほとんど意味はないと思います。

いまの問題は、「虚数解をもつ」と「虚数解をもたない=実数解をもつ」の 2つがありますね。
一つずつ、言い換えていくことを考えます。
★(1)少なくとも一方が虚数解をもつ
少なくとも一方ということは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)
・(2)だけが虚数解をもつ((1)は実数解をもつ)
・(1)も(2)も虚数解をもつ

という場合分けができます。

ところが、ここには現れていな...続きを読む

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3x^2-4x+2x^2+1の同類項をまとめなさいと言われたとき、
3x^2-4x+2x^2+1=(3+2)x^2-4x+1
=5x^2-4x+1
とすると思いますが、(3+2)x^2の括弧の中の3+2は3(個)+2(個)というような意味がある計算ではないから、この場合の3+2は意味のないただの数字計算ということになるのですか?

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x^2 が 3 コと 2 コあるので、同類項を整理したら、5 コの x^2 になったと言っているようです。

Q中学1年数学の方程式文章題の種類

中学数学のプリントつくりをしているのですが、来年の改定に向けて
文章題のパターンの変化はあるでしょうか?

例えば当方の地域では啓林館が使われています。
この場合、方程式の文章題は中1数学の場合「代金」「速さ」「過不足」に関する問題
がメインです。「割合」「位の入れかえ」「連続する整数」などは出てきません。
「割合」は啓林館の場合中2から出てきます。
噂では「食塩水に関する問題も復活するのでは」などとも聞きます。

生徒が混乱するので教科書以外のパターンはあまり問題を作りたくないと考えております。
是非そのあたりをお教えくださればと思います。
また東京書籍版の場合はどうなのかも詳しい方がいらっしゃれば投稿お待ちしております。

Aベストアンサー

問題集に付いている移行措置用の補助教材を見た時に、
比を使った方程式の文章問題が載っていたような気がします。

今後はx : 2 = 4 : 3のような比の方程式の解法を中学1年生で習うようになるので、
この比の方程式に対応した文章問題が出るのは自然かもしれません。

Q3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2=(x+2y-1)(3x+y-2)について

3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2を因数分解せよという問題で、xについて整理し、3x^2+(7y-5)x+(y-2)(2y-1)という方針で解いていくやり方と、
yについて整理し、2y^2+(7x-5)y+(x-1)(3x-2)という方針で解いていくとき方の2通りありますが、どちらで解く習慣を身につけておいた方がよろしいでしょうか?

Aベストアンサー

xやyのどちらの文字で整理するかで決めるのでなく、
次数の低い方、
その文字の現れる項数が少ない方
両方とも同じなら最高次の係数が小さい方
の文字に着目して整理して解くのが基本かと思います。

例題の場合はx,yについて共に2次、項数も共に3項で同じ、最高次の係数も3と2で素数の小さな数ですから、あまり差はありません。後は好みだけの問題でしょう。同じならxと決めて置いても

他の方法としてxとyの両方に着目し2次の項の因数分解
3x^2+7xy+2y^2=(x+2y)(3x+y)
をしてから、一時項を含めた因数分解に進めます。
左辺=(x+2y+a)(3x+y+b)
定数項ab=2に着目してa,bの候補を絞れば良いですね。

Q2種類の文字が入った方程式

xはエックスです。

3/x = (3+2)/(x+y)
3(x+y) = 5x

どのように解いていけば、
3(x+y)=5x なるのでしょうか?

解説のご教授おねがいします。

Aベストアンサー

 右辺の(3+2)が5になるのはわかるニャ?

左辺の1/x、右辺の1/(x+y)をそれぞれ左右に移項しただけニャ。
左辺の1/xを右辺に移項する場合、【両辺にxをかけるから左辺はx/x=1に】右辺にはxをかけることになるニャ。
3/x=5/(x+y)両辺にxをかける
3=5x/(x+y)
右辺の1/(x+y)を左辺に移項する場合、【両辺に(x+y)をかけるから右辺は5x(x+y)/(x+y)=5xに】左辺には(x+y)をかけることになるニャ。
3=5x/(x+y)両辺に(x+y)をかける
3(x+y)=5x

 ちなみに慣れたら【 】は飛ばして良いニャ。また右辺と左辺を同時に計算するニャ。
3/x=(3+2)/(x+y)
3(x+y)=5x

Qx^2+1/x^2=4のときx^3+1/x^3

x^2+1/x^2=4のときx^3+1/x^3の値を求めなさい

という問題がわかりません。

(x+1/x)^2-2=4
とおくと
x+1/x=±√6
となるので±√6を
(x+1/x)^3-(x+1/x)に代入するのでしょうか??

よろしくおねがいいたします。

Aベストアンサー

#1です。

A#1の回答の訂正と補足質問について

>>(x+1/x)^3-(x+1/x)に代入するのでしょうか?
>それでOKです。
OKではないですね?
失礼しました?

(x+1/x)^3=x^3+1/x^3+3(x^2/x+x/x^2)=x^3+1/x^3+3(x+x/x)
なので
「x^3+1/x^3=(x+1/x)^3 -3(x+1/x)に代入する」のが正しいです。

>では答えは-3±7√6で良いのでしょうか??
>あまり自信がないのですが。

答えは
x^3+1/x^3=(x+1/x)^3 -3(x+1/x)
=(x+1/x){(x+1/x)^2-3}
=±√6{6-3}
=±3√6
となります。

Q【数学】2次方程式どうしの足算、引算

私が使っている数学の参考書に
「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」
という旨の文章が載っているのですが、この文章が載っているということは方程式どうしの足算や引算ができるということですよね?

ですが、2つの2次方程式が足したりひいたりできるという考え方がいまいち理解できません。
たとえば、

2x^2-1=0…(1)

という2次方程式と

x^2-4=0…(2)

という2次方程式があるとします。

この2式は単純に足したりひいたりできるのでしょうか?

「連立方程式は2つの式の文字がどちらも一定であるという前提があって成り立つわけじゃないですか。でもこの場合はxがそれぞれまったく別の数字だから足したりひいたりするのは不可能なのでは」
というのが私の意見なのですが…(この場合は連立方程式とは関係がないのかもしれませんが)

以上が質問の内容です。
長くなってしまいごめんなさい。まとめると

文字が1種類の方程式どうしを単純に足したりひいたりできるのか?

ということです。

本当に初歩的な質問だとは思いますが回答していただけるとうれしいです。

私が使っている数学の参考書に
「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」
という旨の文章が載っているのですが、この文章が載っているということは方程式どうしの足算や引算ができるということですよね?

ですが、2つの2次方程式が足したりひいたりできるという考え方がいまいち理解できません。
たとえば、

2x^2-1=0…(1)

という2次方程式と

x^2-4=0…(2)

という2次方程式があるとします。

この2式は単純に足したりひいたりできるのでしょうか?

「連立...続きを読む

Aベストアンサー

連立方程式を加減法で解く際に、2つの式を縦に並べて足し算(または引き算)しますよね?
それが「2つの方程式を足したり引いたりする」ということです。

ですから、文字が1種類の方程式同士を足したり引いたりすることももちろんできます。
ただし、【連立方程式であることが条件】です。
質問者さんの言葉を使うならば、
「2つの式の文字がどちらも一定であるという前提」が成り立っている必要がある、ということです。


(1)と(2)が連立方程式である場合は、「(1)のxも(2)のxも同じ」はずです。
この場合は足したり引いたりすることは可能です。(解があるかどうかは別として)
しかし、(1)と(2)が連立方程式でない場合は、(1)のxと(2)のxは別物ですから、
足したり引いたりすることはできません。

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?


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