X + 3 = 3^x

この方程式の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

y=f(x)=x+3-3^x


f'(x)=1-(3^x)log(3)
f'(x)=0とするxを求めると x=xo=-log(log(3))/log(3)
x<xoでf'(x)>0, この範囲で単調増加
x>xoでf'(x)<0, この範囲で単調減少
最大値f(xo)≒2>0
f(-4)<0,f(-2)>0なので-4<x<-2の範囲に1つの解x1が存在。
f(1)>0,f(2)<0なので1<x<2の範囲に1つの解x2が存在。
解はこれらx1とx2の2つのみ。
添付図はy=f(x)のグラフでx軸との交点のx座標x1,x2がf(x)=0の2つの解となります。

x1とx2は解析的には解くことが出来ません。つまり初頭関数を使って解を表すことが出来ません。高校の数学範囲では理論的な式としては解けないが、ニュートン法などの数値計算法で近似値を求めることが出来て、
x1=-2.961356740071…
x2= 1.335085495966…
と求まります。

大学の数学レベルになりますが特殊関数「Lambert W関数W(x),W(k,x)=W_k(x)」(ランベルト関数)
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.h …
http://www.mathworks.com/help/toolbox/symbolic/l …

x1=-W(-log(3)/27)/log(3)-3
x2=-W_-1(-log(3)/27)/log(3)-3
詳しくは参考URLを見て下さい。

参考URL:http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%2B3 …^x%2Cx
「数II 指数方程式の解き方を教えてくださ」の回答画像2
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この回答へのお礼

微積分を使って解くのかな・・・と少し思っていたので、説明ありがとうございました!
近似値が解なのですね。はっきりとした数字が答えかと思っていました・・。
参考のURLも参考になりました。私が作ったグラフと照らし合わせて、ここまでは、考え方あってるなというのがはっきりとわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/18 04:14

原題は x + 3 = 3^x でしょうか?


数II の段階じゃ、「不動点のおはなし」は未修得かな?
  ↓
参考 URL 「 1 次元の不動点定理」

不動点に収束させる手…

 (1) f(x) = -3 + 3^x とすれば、
  x = f(x)
 (2) g(x) = LN(x+3)/LN(3) とすれば、
  x = g(x)

たとえば (1) をスプレッドシートで…。
  x[i] から f(x[i]) を勘定。
  x[i+1] へ f(x[i]) を代入して、上と同じ勘定。
これを延々と続ければ、有効桁数内にて x[m] と f(m) が一致、つまり不動点へ収束する。
EXCEL (15 桁?) だと、x[i] = 1 からスタートして、15 回目あたりで -2.9613... に収束します。
   

参考URL:http://www7b.biglobe.ne.jp/~fukagawa/documents/s …
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この回答へのお礼

1 次元の不動点定理に関しては、全く知識がありませんでした。参考URLも役に立ちました。まだ、完全には理解しきれていないので、何度も参考URLを読み直そうと思っています。でも、178-tallさんの説明で、不動点に収束させて、答えが見つかるということは分かりました。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/18 04:09

一応確認しますが、大文字のXと小文字のxは同じ未知数ですよね?


だとしたらこの問題は解析的には解けませんね。近似解しか求められません。
グラフを描いてみれば分かります。
y=3^xの指数関数の曲線とy=x+3の交点です。1<x<2ということしか分かりません。
高校2年生で習う範囲を超えます。
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この回答へのお礼

そうです、大文字と小文字は同じ未知数です。
高2レベルじゃないってわかって、安心しました。立ち読みした問題集に載っていた問題で、私が問題をきっちりと読んでなかったせいだと思います。xを求めるのではなく、グラフを書く問題だったのかもしれないと、今、思っています。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/18 04:20

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Q指数方程式の解法について。

どなたかご教授願います。
(A・t+B)t・exp^(C・t) = D
をtについて解くような問題なのですが、
どなたか教えていただけませんでしょうか。
A、B、C、Dは全て定数です。

宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

質問の方程式の解は2つあって
   t = 2*f[ 1/2*√{ ( C^2*D )/( A*B ) } ]/C   [ 0≦ ( C^2*D )/( A*B ) の場合 ]
   t = 2*f[ 1/2*√{ -( C^2*D )/( A*B ) } ]/C  [ ( C^2*D )/( A*B ) ≦0 の場合 ]
となります。

f( ) は LambertのW関数で、y*exp(y) = x を満たすような関数 y = f(x) のことです(初等関数では表わせません)。y*exp(y) の形が入っている方程式で y を求めるような場合、このLambertのW関数が出てきます。

f (x) の定義域は -1/e < x で( e はネピア数)、f(0) = 0 の単調増加関数です[1]。過去の質問で、解にLambertのW関数を含むものがいくつかあります[2] [3] が、その中にLambertのW関数をExcel VBAで計算するマクロが出ています[2]。これを使えば、Excelのセル中に、=LambertW( ) と書き込むことで、普通の関数のように計算できます。

【ExcelVBAを使ってLambertW関数を計算する方法】
Excelの「ツール→マクロ→Visual Basic Editor→挿入→標準モジュール」で出た空白のコード画面に下のプログラムを貼り付け、Excelシートに戻って、あるセルに =LambertW( ここに引数を書く) と書けば計算できます。

↓ここから
Function LambertW(x As Double) As Variant
If x < -Exp(-1) Then
LambertW = ""
Exit Function
Else
If x = 0 Then
LambertW = 0
Exit Function
End If
End If
Dim W As Double, W1 As Double, eps As Double, ew As Double
eps = 10 ^ (-15)
W = 1
While Abs((W - W1) / W) > eps
W1 = W
ew = Exp(W)
W = W - (W * ew - x) / (ew * (W + 1) - (W + 2) * (W * ew - x) / (W + 1) / 2)
Wend
LambertW = W1
End Function
↑ここまで

[1] LambertのW関数 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0
[2] lnの方程式 A=xloge(x)+xB の解は http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2726817.html
[3] x=log{100(1+x)} の解 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2993718.html

質問の方程式の解は2つあって
   t = 2*f[ 1/2*√{ ( C^2*D )/( A*B ) } ]/C   [ 0≦ ( C^2*D )/( A*B ) の場合 ]
   t = 2*f[ 1/2*√{ -( C^2*D )/( A*B ) } ]/C  [ ( C^2*D )/( A*B ) ≦0 の場合 ]
となります。

f( ) は LambertのW関数で、y*exp(y) = x を満たすような関数 y = f(x) のことです(初等関数では表わせません)。y*exp(y) の形が入っている方程式で y を求めるような場合、このLambertのW関数が出てきます。

f (x) の定義域は -1/e < x で( e はネピア数)、f(0) = 0 の単調増加...続きを読む

Q指数関数の両辺の対数をとる・・・の意味

高校数学IIの分野の指数関数、対数関数に関する質問をします。

よく問題の解説中で、指数関数の「両辺の対数をとって…」という表示があり、式変形をしていますが、この意味はどういうことなのでしょうか?

 例えば、1次方程式の両辺の対数をとっても方程式は成立するのでしょうか、それとも両辺の対数をとることができるのは指数関数だけなのでしょうか?

 例えば (1)[指数関数の逆関数を作る] (2)[指数関数の両辺の対数をとる] ←(1)と(2)は同じ結果が表示されると思いますが、どのように関連しているのでしょうか?

 以上、対数という概念を理解したいので質問します。なにか意見があれば、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

>指数関数の「両辺の対数をとって…」という表示があり、式変形をしていますが、この意味はどういうことなのでしょうか?

通常、式変形の1つだけを取り出しても、意味ははっきりしないと思います。
例えば2次関数の平方完成では、1つ1つの式変形の意味というよりは、
最終的に平方完成された式に意味があるのではないかと思うのです。

そういった意味で、「log をとる」のはどういった場合かを考えてみますと、
・微分するとき(対数微分法と言います)
・積分するとき(区分求積法と言います)
・積を和に直すとき(例えば相加・相乗平均の証明など)
こういった目的の下、「log を取りに行く」訳です。
(1次関数の log をとるのはないと思います。
なぜならば log をとったほうが、より複雑になってしまうからです)

log というのはどういう性質があるかと言うと、
「指数のみに着目する」ということになります。

昔、天文学者が距離を測るのに、桁数だけ分かれば良いと思っていたので、
桁数だけ分かるようにしたものが対数です。(実際には先頭の数字とかも分かるが)
例えば地球から2000000000kmか2200000000kmかはあまり変わらないなあと
言う感覚です。(どちらも大きすぎる)
収入を言うときに「あの人は8桁だよ」「いや9桁だよ」なんていうのと同じです。

>対数という概念を理解したいので、なにか意見があれば、よろしくお願いします。
数2の三角関数、指数・対数関数というのは数3への準備と言う側面があり、
数3は大学数学の準備という側面があります。
変数を複素数にとると、指数関数と対数関数は逆関数ではありません。
是非「複素解析」を勉強してください。稲妻に打たれたような感じになるでしょう。
あまりの面白さに、「生きてて良かった」、いや、「生まれてきてよかった」
とさえ思えるかもしれません。

こんにちは。

>指数関数の「両辺の対数をとって…」という表示があり、式変形をしていますが、この意味はどういうことなのでしょうか?

通常、式変形の1つだけを取り出しても、意味ははっきりしないと思います。
例えば2次関数の平方完成では、1つ1つの式変形の意味というよりは、
最終的に平方完成された式に意味があるのではないかと思うのです。

そういった意味で、「log をとる」のはどういった場合かを考えてみますと、
・微分するとき(対数微分法と言います)
・積分するとき(区分求積法...続きを読む

Q指数関数の底がマイナス?

高校数学IIからの質問です。
今指数関数を学習しているのですが、底が0<a<1と1<aの場合をグラフに書いたりしているわけですが、ここでふと思ったのですが、数学では底がマイナスの場合を考えたりすることもあるのでしょうか?グラフすらイメージできませんが。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

あります.複素関数論では頻繁に取り扱います.

底が e である指数関数 e^x は,e を x 回かけるという
直感的な定義とは全く別の方法で定義できます.
(たとえば e^x = lim_{n→∞} (1 + x/n)^n など)

そう定義した e^x を用いて,一般の複素数 a に対して
 a^x = e^{x log a}
と定義します.ただし log は上で定義した e^x の逆関数です.
こうすると,a が正の数の場合は,普通の a^x と一致し,a が一般の場合も
指数関数が持っているべき性質を一通り保存してくれます.
(なぜこうするかは,複素関数論の話です.
 いつか勉強する機会があるかもしれませんね.)

ちなみに,この定義によれば a を正の数としたときに
 (-a)^x = a^x ( cos(πx) + i sin(πx) )
が成立します.

Q分母にxのある方程式の解き方を教えて頂けますか?

分母にxのある方程式の解き方を教えて頂けますか?

15/(6-x)-15/(7-x)=1/2

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

両辺に、2(6-x)(7-x)をかけましょう。
そうすれば、分母からxがなくなります。

分母に(6-x)や(7-x)があるせいで困っているのだから、
分母からこれらをなくしてやればいいという発想ですね。

以下、ご参考まで。
15/(6-x)-15/(7-x)=1/2 ←元の方程式
30(7-x)-30(6-x)=(6-x)(7-x)
210-30x-180+30x=42-13x+x^2
(x^2)-13x+12=0
(x-1)(x-12)=0   ∴x=1,12

Qデータが正規分布しているか判断するには???

初歩的なことですが。。急いでいます。
おわかりになる方 教えてください。
サンプリングしたデータが正規分布しているかどうかを確認するにはどうすればよろしいでしょうか。
素人でも分かるように説明したいのですが。。
定性的にはヒストグラムを作り視覚的に訴える方法があると思います。今回は定量的に判断する方法を知りたいです。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>機械的に処理してみるとできました。
>でも理屈を理解できていません。
 とりあえず、理屈は後で勉強するとして、有意水準5%で有意差あり(有意確率が0.05以下)であれば、正規分布ではないと結論づけてお終いでいいのではないですか。
>この検定をもっと初心者でもわかりやすく解説しているサイト等ご存じありませんか。
 私が知っている限りでは、紹介したURLのサイトが最も丁寧でわかりやすいサイトでした。
>データの区間を分けるときのルール等ありますでしょうか。
 ヒストグラムを作成する場合、区間距離、度数区分数は、正規的なグラフになるように試行錯誤で行うことが多い(区間距離や度数区分数を本来の分布に則するようにいろいろ当てはめて解釈する。データ個数の不足や、データの取り方、または見かけ上の分布によりデータのばらつきが正しく反映されて見えないことがあるため)のですが、度数区分数は、機械的に、
=ROUNDUP(1+LOG10(データ個数)/LOG10(2),0):エクセル計算式
で区分数を求める方法があります。
 また、区間距離は、=ROUND((データの最高値-最低値)/(度数区分数値-1),有効桁数)で求め、区分の左端は、
=ROUNDUP(データの最低値-区間距離/2,有効桁数)
右端は=ROUNDUP(データの最高値+区間距離/2,有効桁数)
とします。
 区間がと度数区分数が出たら、その範囲にあるデータ数を数えて、ヒストグラムができます。
 
>最小側、最大側は 最小値、最大値を含んだ値としなければならないのでしょうか。
 ヒストグラム作成の処理に関しては、上記を参考にしてください。
 その前に、データの最小値と最大値が、正しくとれたデータか検討するため、棄却検定で外れ値が存在するか否かを検定し、外れ値が存在しないと結論づけられたら、正規分布の検定を行ってみてください。もし外れ値が存在する可能性があれば、そもそも、そのデータの信頼性が失われます。サンプリング手法の再検討(データの取り方に偏りがなかったか、無作為に設定してデータを取っていたか等)をして、再度データを得る必要があります。また、そもそも検定する以前に、データ数が少ないと判断が付かなくなってしまいますので、データ数は十分揃える(少なくとも20~30個)必要もあります。

>機械的に処理してみるとできました。
>でも理屈を理解できていません。
 とりあえず、理屈は後で勉強するとして、有意水準5%で有意差あり(有意確率が0.05以下)であれば、正規分布ではないと結論づけてお終いでいいのではないですか。
>この検定をもっと初心者でもわかりやすく解説しているサイト等ご存じありませんか。
 私が知っている限りでは、紹介したURLのサイトが最も丁寧でわかりやすいサイトでした。
>データの区間を分けるときのルール等ありますでしょうか。
 ヒストグラムを作成する場合、区...続きを読む

Q累乗の逆(対数?)の計算方法を教えて下さい

Excelで累乗を使った計算をしているのですが、
計算方法が分からないので教えて下さい。

累乗の計算で次のような式があるとします。

y=3^x

y=81の時のxの値は、x=LOG(81,3)=4と分かります。

(LOG(数値,底) はExcelで対数を求める関数です)

ですが、同様に次のような式が与えられた時の
xの求め方が分かりません。(同様にy=81とします)

 y=x^4

Excelに限らず一般的な解き方でかまいませんので、
ご存知の方お願い致します。

Aベストアンサー

こんにちは!
関数powerを使えば算出できます!
power(a,b)でaのb乗を計算するので、y=x^4でしたら、(xもyも正ならば)指数法則からy^(1/4)=xなので、
power(81,0.25)で計算できます!
ただ、y=x^4だと-3も解ですので、負の場合も考える必要があるなら考えないといけませんが…

Qlnの方程式 A=xloge(x)+xB の解は?

lnの方程式で

A=xln(x)+xB
(エー=エック掛けるエルエヌエックスぷらすエックス掛けるビー)

のxの解が知りたいのですが、記憶が正しいならば

これは解けない方程式だった気がします。

しかし、この解が欲しいので、どなたか教えていただけませんか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

まだ締切られていないようなので補足します。
ANo.2の式(1)と式(2)が同じかどうかですが、計算したら同じでした。

【A = x*ln(x)*B*x の解(2通り)】
x = e^[W(A*e^B) - B] --- (1)
x = A/W(A*e^B) --- (2)
ただし-1/e≦A*e^B → -e^{-(B+1)}≦A
W(x)はLambertのW関数[1]で、x=W(x)*e^W(x) の解。

【(1)=(2)の証明】
xを使うと混乱するので、sを使ってW関数の定義を書くと
s = W(s)*e^W(s)
s=A*e^B とおくと、A*e^B = W(A*e^B)*e^W(A*e^B)
両辺をe^B (≠0)で割ると、A = W(A*e^B)*e^{W(A*e^B)-B}
A=0のときA*e^B = 0となるので、A≠0のとき両辺をW(A*e^B) で割ると、A/W(A*e^B) = e^{W(A*e^B)-B}。したがって式(1)=式(2)が成り立つ。A=0のときは、式(1)からx = 1が解となるが、式(2)では0/0となってしまうので、式(1)のほうがAがゼロかどうか気にしなくてもいいという点で使いやすいと思います。

[1] LambertのW関数 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0

【LambertのW関数の数値計算法】
LambertのW関数の参考URLに出ている漸化式を使えば、-1/e≦xに対する関数値 W(x)を計算することができる。参考まで、ExcelVBAを使って計算する方法を示します。

Function LambertW(x As Double) As Variant
If x < -Exp(-1) Then
LambertW = ""
Exit Function
Else
If x = 0 Then
LambertW = 0
Exit Function
End If
End If
Dim W As Double, W1 As Double, eps As Double, ew As Double
eps = 10 ^ (-15)
W = 1
While Abs((W - W1) / W) > eps
W1 = W
ew = Exp(W)
W = W - (W * ew - x) / (ew * (W + 1) - (W + 2) * (W * ew - x) / (W + 1) / 2)
Wend
LambertW = W1
End Function

Excelの「ツール→マクロ→Visual Basic Editor→挿入→標準モジュール」で出たコード画面に上のプログラムを貼り付け、Excelシート上で「=LambertW()」で呼び出せば計算できます。この関数を使えば、元の方程式の解は、= exp(LambertW(A*exp(B))-B)で計算できます。

まだ締切られていないようなので補足します。
ANo.2の式(1)と式(2)が同じかどうかですが、計算したら同じでした。

【A = x*ln(x)*B*x の解(2通り)】
x = e^[W(A*e^B) - B] --- (1)
x = A/W(A*e^B) --- (2)
ただし-1/e≦A*e^B → -e^{-(B+1)}≦A
W(x)はLambertのW関数[1]で、x=W(x)*e^W(x) の解。

【(1)=(2)の証明】
xを使うと混乱するので、sを使ってW関数の定義を書くと
s = W(s)*e^W(s)
s=A*e^B とおくと、A*e^B = W(A*e^B)*e^W(A*e^B)
両辺をe^B (≠0)で割ると、A = W(A*e^B)*e^{W(A*e^B)-...続きを読む

Q累乗指数が分数の場合

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2^(3/2)・・・2の2分の3乗の答えはどうなるのでしょうか?
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Aベストアンサー

簡単に説明させて頂きます。
3^1/2(3の1/2乗)とは√3のことで
2^1/3 (2の1/3乗)とは2の3乗根といい(3乗すると2になる正の数)
    √2の左上に小さく3と書きます。
x^n/m はxのn乗のm乗根の事です。
また、
3^-2とは1/3^2のことです。

Q実数に負の数と"0"は含まれる?

こんばんは。
初歩的な質問となるのですが、実数に負の数と"0"は含まれるのでしょうか?
お願いいたします。

Aベストアンサー

こんばんは。

こんな感じです。

A 自然数: 1,2,3、・・・
B ゼロ
C ゼロ以上の整数(ゼロと自然数): 0,1,2,3・・・
D 負の整数: ・・・、-3、-2、-1
E 整数 = C+D
F 正の小数、負の小数 (終わりの桁が存在する小数)
G 有理数: E+F + 循環小数(分母と分子を整数とした分数で表すことができる数)
H 無理数: √2、π、e など、循環小数ではない小数
I 実数: G+H
J 複素数: 実数a、bと虚数単位iを用いて a+bi の形になる数
K ベクトル
L 行列


というわけで、負の数とゼロは実数に含まれます。

Qf(x) g(x) とは?

f(x)のf と g(x)のgの意味を教えて下さい。

あと、f(x)などはどういう時に使うのですか??

Aベストアンサー

こんばんは。

‘f’は、‘function’の略です。
function は、元々、「機能」、「作用」という意味です。

日本語では「関数」と言いますが、元々は「函数」と書かれていました。
これは、かっこという「函」があることに由来していると考えられます。

たとえば、
f(x) = xの色
と定義すれば、
f(イチゴ)= 赤
f(みかん)= 橙
となります。

函の中に何かを入れたら、決まった法則で何かが出てくるということですね。
まさに「機能」、「作用」です。

このように、y ではなく、函のある f(x) を用いることによって、表示がわかりやすくなります。

たとえば、
y = 2x + 1
f(x) = 2x + 1
の2つを比較すると、
「x=1 のとき y=3」
と書くよりも
「f(1) = 3」
と書くほうが、すっきりしていてわかりやすいですよね?


gは、単に、fの隣の文字ということで使われています。
同様の例には、
変数(未知数)が1個あるときは、x
2個あるときは、x、y
3個あるときは、x、y、z
を用いますし、
自然数や整数を表すとき、
自然数や整数が1個あるときには、n
自然数や整数が1個あるときには、m、n
を用います。(nの右隣の文字はoですが、oは嫌われて、代わりに左隣のmを使っています。)


お暇でしたら、下記の過去Q&Aもどうぞ。(私が質問者)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3333409.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3406599.html


以上、ご参考になりましたら。

こんばんは。

‘f’は、‘function’の略です。
function は、元々、「機能」、「作用」という意味です。

日本語では「関数」と言いますが、元々は「函数」と書かれていました。
これは、かっこという「函」があることに由来していると考えられます。

たとえば、
f(x) = xの色
と定義すれば、
f(イチゴ)= 赤
f(みかん)= 橙
となります。

函の中に何かを入れたら、決まった法則で何かが出てくるということですね。
まさに「機能」、「作用」です。

このように、y ではなく...続きを読む


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