問:放物線y=2x^の頂点から引いた弦の中点はどんな曲線をえがくか.


この問題の解答をお願いします

A 回答 (3件)

放物線の式が



> y=2x^

となっていますが,

y = 2x^2

と解釈しますと,この放物線上の点(t,2t^2)と頂点(0,0)との中点の座標は
(x,y) = (t/2,t^2)
と表すことができる.

t = 2x を y = t^2 に代入して
y = (2x)^2 = 4x^2.

これが求める軌跡.

∴求める軌跡は放物線 y = 4x^2.
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2011/04/18 21:36

ANo.1です.



> 十分性に関する、さりげないヒトコトを忘れずに。

alice_44様,おっしゃる通りです.

# alice_44様,いつぞやはコメントありがとうございます.

それと,忘れてたことがあります.

放物線上の点P(t,2t^2)と頂点O(0,0)との中点の座標は
(x,y) = (t/2,t^2)
と表すことができる.

…のですが,確かに任意の実数tに対して,点P(t,2t^2)は元の放物線上の点ではあるのですが,t = 0のとき頂点Oと点Pが一致してしまい,「弦OPが定義できない.したがって,その中点も定義できない」ということになります.

そこで,以下のようにします.

放物線上の点Pの座標は(t,2t^2)と表すことができ,t ≠ 0に対して,弦OPの中点の座標は
(x,y) = (t/2,t^2).

tを消去して,y = 4x^2 が得られる.

t ≠ 0であるから,x ≠ 0であり,このとき点Pは放物線y = 4x^2上の,点(0,0)以外のあらゆる点を動きうる.

したがって求める軌跡は放物線 y = 4x^2.ただし原点(0,0)を除く.
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十分性に関する、さりげないヒトコトを忘れずに。

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