数学II
数学の問題

整式p(x)を(x-1)(x+2)で割ったときの余りが 7x であり
x-3 で割ったときの余りが1である。
p(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときの余りを求めよ。

という問題です。
三次式で割っているので、余りは二次以下であるから、ax^2+bx+c とおいて解くやり方などいろいろ習いましたが、分からないものがあったので、それを質問します。

まず
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x) + a(x-1)(x+2)+7x
とおいてから
p(3)=1より、10a+21=1
a=-2
よって余りは、-2(x-1)(x+2)+7x
=-2x^2+5x+4

です。
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x) + a(x-1)(x+2)+7x
とおける理由が分かりません。

どういうおきかたなのでしょうか?

A 回答 (2件)

P(x)を(x-1)(x+2)で割った商をR(x)とすると、余りが7xですから



 P(x)=(x-1)(x+2)R(x)+7x   …(A)

とおけますよね。
ここで、このR(x)を(x-3)で割った商をQ(x)、余りをaとすると

 R(x)=(x-3)Q(x)+a

これを先の(A)式に代入すると、

 P(x)=(x-1)(x+2){ (x-3)Q(x)+a }+7x
    =(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x+2)+7x  (*中括弧だけを外しました)

となり、ご質問の形の式が得られます。

このように予め余りをaとおいて解いて式を立ててもいいですし、
別にそうせずに(A)式にいきなり x=3 を代入しても構いません。

 p(3)=10R(3)+21=1
  ∴ R(3)=-2

剰余の定理よりR(x)を(x-3)で割った余りは -2 ということになるので、

 R(x)=(x-3)Q(x)-2

これを(A)式に代入して
 
 P(x)=(x-1)(x+2){ (x-3)Q(x)-2 }+7x
    =(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)-2(x-1)(x+2)+7x
    =(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)-2x^2+5x+4

よって求めるあまりは -2x^2+5x+4
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/06/20 19:08

P(x)=(x-1)(x+2)S(x) + 7x  とすると


S(x)=(x-3)Q(x)+A とおけます
(x-1)(x+2)S(x) + 7x  =(x-1)(x+2)((x-3)Q(x)+A) + 7x  
  =(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+A(x-1)(x+2) + 7x  
とちゅうをかくと
こうなります
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