数学II 数学の問題

数学II
数学の問題

整式p(x)を(x-1)(x+2)で割ったときの余りが 7x であり
x-3 で割ったときの余りが1である。
p(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときの余りを求めよ。

という問題です。
三次式で割っているので、余りは二次以下であるから、ax^2+bx+c とおいて解くやり方などいろいろ習いましたが、分からないものがあったので、それを質問します。

まず
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x) + a(x-1)(x+2)+7x
とおいてから
p(3)=1より、10a+21=1
a=-2
よって余りは、-2(x-1)(x+2)+7x
=-2x^2+5x+4

です。
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x) + a(x-1)(x+2)+7x
とおける理由が分かりません。

どういうおきかたなのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： momordica 回答日時： 2011/04/19 19:20

P(x)を(x-1)(x+2)で割った商をR(x)とすると、余りが7xですから

　P(x)=(x-1)(x+2)R(x)+7x　　　…(A)

とおけますよね。
ここで、このR(x)を(x-3)で割った商をQ(x)、余りをaとすると

　R(x)=(x-3)Q(x)+a

これを先の(A)式に代入すると、

　P(x)=(x-1)(x+2){ (x-3)Q(x)+a }+7x
　　　 =(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x+2)+7x　　（＊中括弧だけを外しました）

となり、ご質問の形の式が得られます。

このように予め余りをaとおいて解いて式を立ててもいいですし、
別にそうせずに（A)式にいきなり　x=3 を代入しても構いません。

　p(3)=10R(3)+21=1
　　∴　R(3)=-2

剰余の定理よりR(x)を(x-3)で割った余りは -2 ということになるので、

　R(x)=(x-3)Q(x)-2

これを(A)式に代入して
　
　P(x)=(x-1)(x+2){ (x-3)Q(x)-2 }+7x
　　　 =(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)-2(x-1)(x+2)+7x
　　　 =(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)-2x^2+5x+4

よって求めるあまりは　-2x^2+5x+4

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/06/20 19:08

No.1 回答者： sayumi0570 回答日時： 2011/04/19 19:10

Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２）Ｓ（ｘ）　＋　７ｘ　　とすると

Ｓ（ｘ）＝（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋Ａ　とおけます
（ｘ－１）（ｘ＋２）Ｓ（ｘ）　＋　７ｘ　　＝（ｘ－１）（ｘ＋２）（（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋Ａ）　＋　７ｘ　　
　　＝（ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋Ａ（ｘ－１）（ｘ＋２）　＋　７ｘ　　
とちゅうをかくと
こうなります