点(8,0)を通る直線と円x^2+y^2=25によって切り取られる弦の中点の軌跡。


お願いいたします

A 回答 (2件)

点C(8,0)を通り円x^2+y^2=25…(1)と交わる直線はy=m(x-8)…(2)と書くことができる。


直線が円と交わるとき点Cに対して遠い方の交点をA,近い方の交点をBと置くと
ABの中点M(X,Y)は円の中心O(原点)から直線(2)に下ろした垂線の足でもある。
(1)に(2)を代入して
x^2+(m^2)(x-8)^2=25
整理して
 (1+m^2)x^2-16(m^2)x+64m^2-25=0…(3)
2つの交点を持つ条件から
判別式D/4=64m^4-(1+m^2)(64m^2-25)=25-39m^2>0
 ∴|m|<5/√39…(4)
2次方程式の解と係数の関係から
2X=16(m^2)/(1+m^2)
X=8(m^2)/(1+m^2)…(5)
(4)より 0≦X<25/8…(6)

また中点Mは直線上の点なので
Y=m(X-8) …(7)
Y^2=(m^2)(X-8)^2…(8)
(5),(8)からmを消去
(X-4)^2+Y^2=16 (0≦X<25/8)
これが求める軌跡である。答としてはX,Yを一般の流通座標のx,yに置き換えます。
「円」の回答画像2
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2011/04/28 20:14

弦の中点と円の中心とを結ぶ直線は、弦と垂直なので、


弦の中点の軌跡は、点(8,0)と円の中心とを結ぶ線分を直径とする円になります。

もちろん、円x^2+y^2=25の内部に限りますが。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2011/04/28 20:13

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