タイトルの通りです。
高校数学で分からないことがあります。
1、次の二重根号をはずして簡単にせよ。
√(6+√20)
という問題ですが、二重根号をはずす公式とかあるのでしょうか?
解き方を教えてください。

2、「実数Aにおいて、A=a+b  (0≦b<1)とあらわすとき、aをAの整数部分、bをAの小数部分というそうです。

3-√5/1の整数部分をa、小数部分をbとするとき、bの値を求めよ。
小数部分がないので多分なにか数を少数に置き換えるのでしょうか、やり方がわかりません。

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A 回答 (5件)

二重根号のはずし方。



√の中身をa+b+2√ab またはa+b-2√abにする。

なぜなら、普通の(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

という、最も基本的な展開式がありますよね。
それの根号版です。

a=(√a)^2 b=(√b)^2 2√a√b
だから、おんなじ形にできるわけです。

ポイントは、2乗の形に持って行けるように
式を書き換えること。ですね。

√6+√20の中身に着目。

6+√20ですね。

√20=2√5 は大丈夫でしょうか。

すると、5+1+2√5×1と形が変える事が出来ますので、

(√5+√1)^2と、√の中身を変形できるのです。

ですから、2乗によって√がはずれますので、

√5+1となります。

公式と言うよりも、(a+b)^2の√バージョンということができます。
これを考えれば特に覚える必要もないと思います。

次に、整数部分と小数部分に行きます。

例えば、√2=1.41421356と覚えろといわれたことはありませんか?
√で整数部分、小数部分と言うと、√それ自体というより、
その√が実際どれくらいの大きさか。の方が大切になります。
√2の場合、整数部分が1 小数部分が0.41421356
ということです。

3-√5分の1の整数部分をa,小数部分をbとするときですね。

まず、分母に√があるときは、99%問題に指示がないかぎり有利かします。
つまり、√を消すような計算をするわけですね。

3-√5に3+√5をかければ、9-5=4となります。
分母にかけたので分子にもかけます。

よって、分子は1ですからそのまま3+√5ですね。
つまり、3+√5分の4ということができます。

これで上のように計算してみましょう。分母があるから少しややこしい。

√5は、2.2360679・・・でしたね。

つまり、整数部分は2 小数部分は0.2360679です。
よって、

分子は、3+2+0.2360679ですから、

5分の4と、0.2360679分の4にわけることができます。

このうち、5分の4といっても、1.25ですよね。
つまり、最終的な整数部分は、1なわけです。

そして、0.25を0.2360679・・・II足します。

すると、a=1 0.4860679=bという答えになると思います。

√2や√5、はこのように、語呂合わせで実際の大体の数字が
割り出せました。

では、√17とかはどうすればわかるのでしょうか。
それには、一番近いものを出してやります。

というのは、√9=3 √16=4 √25は5ですね。

√17は√16と√25にあることは、間違いないわけです。

とすれば、√17の整数部分は、4でしかありえません。

とすれば、√17の小数部分は、√17-4とあらわせます。

小数がわからなくっても、大丈夫です。
もしかしたら、私の上の解答のbの答えは、√から整数を
引いた状態で、0.25を足しているかもしれません。
そうだったらすいませんね。
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この回答へのお礼

二重根号をはずす公式?をわかりやすく説明してもらい、この問題もぶじとけました。
もっと練習してをといて、力をつけようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/25 19:46

>二重根号をはずす公式とかあるのでしょうか?



次の式を使って二重根号をはずす事が出来ます。

√((a+b)+2√(ab))=√a+√b
√((a+b)-2√(ab))=√a-√b

次の方法でこの式を導くことが出来ます。

(√a±√b)^2
=(√a)^2±2√a√b+(√b)^2
=a±2√(ab)+b

すなわち、次の式が成り立ちます。

(√a±√b)^2=(a+b)±2√(ab)
√a±√b=√((a+b)±2√(ab))
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この回答へのお礼

順を追っての説明がわかりやすく、
なっとくできました。
ありがとう御座います。

お礼日時:2011/04/25 19:40

次の問題は3-√5のことかな・・?


よくわからないのでとりあえず3+√5で説明すると
√5≒2.2360・・・なのでこの場合だと整数部分aはa=3+2=5ということになります
(3+√5)から整数部分aを引いたものが小数ということなのでb=(3+√5)-5=√5-2が小数部分になります
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この回答へのお礼

すみません。
5/1は五分の一です。
間違えてしまいました。
お手数おかけしました。
回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/25 19:56

1.根号内は、6+2√5ですね。

これが、何かの平方と表せれば、それにかかる根号は外せるわけです。
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2ですが、x^2+y^2=6となり、2xy=2√5となるx、yを考えます。それは、x=1、y=√5(x、yは逆でもよい)
だから、6+2√5=(1+√5)^2。そうすれば、それのルートだから…
2.ちょっと、整数部分、小数部分の問題がはっきりしませんが、とりあえずよくある5-√5の話で説明しますね。
5-√5の整数部分をa、小数部分をbとする。まず、√5はどれぐらいの値か。5は4より大きく9より小さい。すると、√5は2より大きく、3より小さい。すると、5-√5も2より大きく、3より小さい。すると、整数部aは2だ。小数部bは、5-√5-2=3-√5
要するに、整数部分はすぐ見当がつくので、元の数から整数部分を引いたものが小数部分です。
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この回答へのお礼

要点を分かりやすく説明いただいたので、理解することが出来ました。
ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/25 19:48

二重根号のはずし方


(6+√20)の部分を(√a+√b)^2の形にします。そうすると外側の根号がはずれます
6+√20=6+2√5になります。
よって√a×√b=√5,(√a)^2+(√b)^2=6になるa,bを考えます
この問題だとa=1,b=5になります
よって(√1+√5)^2=(1+√5)^2になります
これで√(1+√5)^2=1+√5になります
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この回答へのお礼

簡潔に説明してくれたので、分かりやすかったです。
ありがとう御座います

お礼日時:2011/04/25 19:50

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なので
√2 + √3 -2≒1.13626436…
となって
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