2次の(実)直交行列は、θを用いて、
((cosθ,-sinθ),(sinθ,cosθ))
と表されますが、3次の(実)直交行列は、どのように表されるのでしょうか?

A 回答 (1件)

2次が既に間違ってますよ。


(0, 1), (1, 0)) も直交行列です。
2次だと他にも反射を表す直交行列もありますが、
3次はもっと複雑になります。
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この回答へのお礼

すみません。
2次の実直交行列は、
((cosθ,-sinθ),(sinθ,cosθ))もしくは((cosθ,sinθ),(sinθ,-cosθ))
と表される、とするのが正しかったです。
つまり、回転行列か、x軸に関する対称移動を表す行列と回転行列の積
となります。

3次も回転行列か、xy平面に関する対称移動を表す行列と回転行列の積
だと思われます。
3次も回転行列は、いろいろ検索して調べたら、オイラー角を用いた表現、カルダン角(ロールピッチヨー角)を用いた表現、ロドリゲスの公式、四元数を用いた表現があるようですが、雑多すぎて良く分かりません。
個人的には、直交するxyz軸が、原点を固定して回転しXYZ軸になって、x軸とX軸のなす角がθ,y軸とY軸のなす角がφ,z軸とZ軸のなす角がψだったときの回転行列を知りたいです。
またいろいろな表示において、2回の3次元回転の合成で、パラメータがどう変化するなども知りたいです。
よく分かるサイトなどがあれば教えていただけないでしょうか。

お礼日時:2011/04/25 23:21

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Qオイラーの公式の用い方

オイラーの公式とド・モアブルの定理を利用して3倍角の公式を証明せよ。という問題のなのですが、私にはオイラーの公式の出番がないように思えます。。。
ド・モアブルの定理
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一応。。。
オイラーの公式
e^iθ=cosθ+i×sinθ

Aベストアンサー

度もあぶるの定理はこの世に存在しなかったとして忘れてしまって結構
オイラーの式によって無用の長物になった
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Q単位円上に点A(cosθ1,sinθ1)と点B(cosθ2,sinθ2

単位円上に点A(cosθ1,sinθ1)と点B(cosθ2,sinθ2)があり、円の外に点D(Rcosθ3,Rsinθ3)があります。
原点をOとして、線分ODと単位円の交点C(cosθ3,sinθ3)が、次のどちらにあるかを知りたいのです。
・点Aから円弧に沿って時計回りに点Bへ向かう途中
・点Aから円弧に沿って反時計回りに点Bへ向かう途中

プログラムを作っていて、上記のような判別をしなくてはいけなくなりました。
プログラムの都合上、θ1やθ2は-π<θ1≦πや-π<θ2≦πを満たしているとは限りません。
(-2π<θ1≦2πや-2π<θ2≦2πくらいに収まっているとは思いますが…)

なるべくスマートな判別方法をお教えください。
A,B,Cが一致することはないものとして結構です。

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(θ1-θ2)*(θ2-θ3)*(θ3-θ1) の符号を調べればいいのではないですか?

もし正であれば
 θ1<θ2<θ3 または θ2<θ3<θ1 または θ3<θ1<θ2
つまり、点Aから円弧に沿って時計回りに点Bへ向かう途中にCがあることを示し、
逆に負であれば
 θ1<θ3<θ2 または θ2<θ1<θ3 または θ3<θ2<θ1
つまり、点Aから円弧に沿って反時計回りに点Bへ向かう途中にCがあることを示すと思います。

Qオイラー法による微分方程式の数値解法

dy/dx=-2xy^2
y(0)=1

でx=1での値の近似値をオイラーの方法で、求めよ(n=10)

という問題ですが、ウェブでオイラーの方法についてあらかた調べたのですが、記述が複雑うまく理解できませんでした。まず増やしていく幅のhは自由に設定していいのでしょうか?

オイラーの方法による解き方をやさしく教えていただけたら嬉しいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1階の常微分方程式
dy/dx = f(x, y)
の解
y = y(x)
に対して,初期条件
y0 = y(x0)
が与えられているなら,十分小さいhに対して,
y(x0 + h) ≒ y(x0) + y'(x0) h = y0 + f(x0, y0) h
が成り立ちます(1次近似).

# この1次近似がオイラー法の根本的な原理であり,これが解らなければ,オイラー法が解っていないというよりも,微分という考え方がまだ理解できていないと思われますので,もしそうなら,1次近似について復習してください.

そこで,
x1 = x0 + h
と置くと,
y(x1) ≒ y0 + f(x0, y0) h = y1
と表せます.

この式で求められるy1は飽くまで近似値なので,真の解のグラフが点(x1, y1)を通るとは限らないのですが,当たらずとも遠からずってとこでしょうから,点(x1, y1)が真の解のグラフ上にあるものとみなし,この点で同じ近似を行います:
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同じようにして,逐次近似を行っていくと,一連の近似値が得られます:
y1 = y0 + f(x0, y0) h,
y2 = y1 + f(x1, y1) h,
y3 = y2 + f(x2, y2) h,
y4 = y3 + f(x3, y3) h,
...

そこで,xにおける解の値y(x)の近似値が欲しければ,区間[x0, x]をn等分し(本当は等分でなくてもいいのですが,簡単のためそうします),それぞれの分点に
x0, x1, x2, ..., x[n-1], xn = x
と名前を付けると,
y1 = y0 + f(x0, y0) h,
y2 = y1 + f(x1, y1) h,
...
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yn = y[n-1] + f(x[n-1], y[n-1]) h.

これがオイラー法です.

このやり方は素朴で分かりやすいのですが,誤差が蓄積しますので,精度はあまり良くありません.

で,今回の微分方程式
dy/dx = -2x y^2,
y(0) = 1
ですが,VBSで簡単なコードを書いてみました:


'Euler法

Option explicit

Function f(x, y)
f = -2*x*y^2
End Function

Dim x, xn, y, h
Dim n, i

'初期条件
x = 0
y = 1

xn = 1 '評価点

n = 10 '分割数
h = (xn - x)/n '幅

For i = 1 To n
y = y + h*f(x, y)
x = x + h
Next

MsgBox "y(" & xn & ") = " & y


これをメモ帳でも何でもいいからテキストエディタで拡張子.vbsのテキトーなファイル名で保存し,アイコンをダブルクリックすると,

y(1) = 0.503641976039014

とか値が出力されます.

この微分方程式は,ANo.2さんが回答してくださっているように解析的に解けるのですが(変数分離形),真の解は
y(1) = 0.5
なので,確かに「当たらずとも遠からず」って感じです.

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が与えられているなら,十分小さいhに対して,
y(x0 + h) ≒ y(x0) + y'(x0) h = y0 + f(x0, y0) h
が成り立ちます(1次近似).

# この1次近似がオイラー法の根本的な原理であり,これが解らなければ,オイラー法が解っていないというよりも,微分という考え方がまだ理解できていないと思われますので,もしそうなら,1次近似について復習してください.

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と置くと,
y(x1) ≒ y0 + f(x0, y0) h = y1
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Q(2)についての質問です。2(sinθ-cosθ)-(sin^2θ-cos^2θ)=2(sin

(2)についての質問です。

2(sinθ-cosθ)-(sin^2θ-cos^2θ)
=2(sinθ-cosθ)-(sinθ-cosθ)
×(sinθ+cosθ)
=(sinθ-cosθ){2-(sinθ+cosθ)}

この部分の展開がわかりません。
2(sinθ-cosθ)…… の所の説明をお願いします。拙い文章ですみません。

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sinθ=X, cosθ=Y とおくと
 X^2 - Y^2 = (X +Y)(X - Y)
はよいですね?

元の式は、
 2( X - Y ) - ( X^2 - Y^2 )
なので
 2( X - Y ) - ( X^2 - Y^2 )
= 2( X - Y ) - (X +Y)(X - Y)
= (X - Y) [ 2 - (X +Y) ]

ということです。

Qオイラー法とルンゲ・クッタ法

「オイラー法とルンゲ・クッタ法の計算精度を数値的に比較しなさい」と課題を出されましたがさっぱりわからないのです.
最低でもオイラー法と2次のルンゲ・クッタ法を比較しないといけないのですがどのような方法でどのような結果になるのでしょうか?
お願いします

Aベストアンサー

「数値的に」ということは,理論的な解析はやらなくても良いようですね.

直接的にやり方をお教えするのは禁止されていますので,簡単に手順の概要をしますから,あとは実際にやって考えてみて下さい.

1. 数値計算に頼らなくても,解が解析的に求まる微分方程式を用意する
(調和振動子,バネとかが良いかもしれません)

2. 「刻み幅」を同じ値にし,オイラー法とルンゲクッタ法で解を求めていく

3. 解析解(微分方程式を実際に解いた式)と数値計算結果の差を比較する
(グラフを描いてみると良いかもしれません.差の絶対値を取る方が良いと思います)

4. 「刻み幅」(ステップサイズ)の大きさを半分,もしくは2倍にして,上記1~3を再度試みる

5. 時間の許す限り,4. を繰り返す
(刻み幅を10倍とかやってみても良いかもしれません)

参考URLの本に,この辺のことは全部書いていますので,御購入なさってはいかがでしょうか.

頑張って下さい.

参考URL:http://tinyurl.com/65udeo

「数値的に」ということは,理論的な解析はやらなくても良いようですね.

直接的にやり方をお教えするのは禁止されていますので,簡単に手順の概要をしますから,あとは実際にやって考えてみて下さい.

1. 数値計算に頼らなくても,解が解析的に求まる微分方程式を用意する
(調和振動子,バネとかが良いかもしれません)

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3. 解析解(微分方程式を実際に解いた式)と数値計算結果の差を比較する
(グラフを描いてみる...続きを読む

Q角θは、0<=θ<=Πにおいて、絶対値(2cosθ+sinθ)<=1を

角θは、0<=θ<=Πにおいて、絶対値(2cosθ+sinθ)<=1を満たすとする。

1、sinθのとる値の範囲を求めよ。
2、cosθ+sin2θのとる値の範囲を求めよ。

この問題がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと
解くのが難しいかと思います。

1
y=2cosθ+sinθ=√5sin(θ+a)
ここで cos(a)=1/√5,sin(a)=2/√5 (π/3<a<π/2)
π/3≦θ+a≦π+a<3π/2の範囲で
|y|≦1を満たすθの範囲は
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
このとき
1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

2
cosθ+sin(2θ)=f(θ)とおくと
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
の範囲では
θ=π/2で f(θ)は最大となり,最大値f(π/2)=cosθ+sin(2θ)=0
θ=(3/2)π-2arccos(1/√5)で最小となり
このときcosθ=-sin(2arccos(1/√5))=-4/5
sinθ=-(2/5-1)=3/5
 sin(2θ)=2cosθsinθ=-24/25
最小値f((3/2)π-2arccos(1/√5))=(3/5)-(24/25)=-9/25
∴-9/25≦cosθ+sin(2θ)≦0

グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと
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1
y=2cosθ+sinθ=√5sin(θ+a)
ここで cos(a)=1/√5,sin(a)=2/√5 (π/3<a<π/2)
π/3≦θ+a≦π+a<3π/2の範囲で
|y|≦1を満たすθの範囲は
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
このとき
1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

2
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π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
の範囲では
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Qオイラーの等式を高校までの数学でわかりやすく。

オイラーの等式はとっても大事なものだとわかったのですが、
私は高校数学までしか学んでないので、
検索しても難しくてわかりませんでした。

オイラーの等式自体。
なんのために使うのか。
どうして等式のなかで最も必要なものなのか。
などなど、
教えてください。

Aベストアンサー

オイラーの公式の書き方はいろいろあると思いますが、
最も実用的なのは

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#a=0, θ=π にすると有名なオイラーの公式になります

これはネピア数の累乗の虚数部分は、複素数の
「回転」を表している

ので、例えば工学的には、線形微分方程式の振動解
などを記述するのに便利なのでよく使われます。

Qcosθ/(1+sinθ) + (1+sinθ)/cosθを簡単にしなさい

途中式を詳しく教えてほしいです、できればちょっとした解説もお願いします。

回答待ってます。

cos^2θ + (1+sinθ)^2になってしまいます。
答えとは違います。

Aベストアンサー

三角関数以前に、基礎の基礎、分数の通分(つうぶん)や括弧をはずす操作の練習しなくちゃだめです。

 以下、めんどくさいから
  c = cosθ, s = sinθ
と書く事にします。さて、そもそも
  c/(1+s) + (1+s)/c
という式が意味を持つためには、(1+s)≠0かつc≠0でなくてはならない。つまり、この問題は暗黙のうちに「ただし(1+s)≠0かつc≠0であるものとする」という条件が付いているんです。

 ということを念頭に置いて取りかかりますと、
  c/(1+s) + (1+s)/c を通分して
  = (c^2 + (1+s)^2) /((1+s)c) となる。で、分子を展開(括弧はずし)して
  = (c^2+s^2+2s+1)/((1+s)c) となる。ここで公式 c^2+s^2=1 を使うと
  = (1+2s+1)/((1+s)c) である。そして分子を整理すると
  = 2(1+s)/((1+s)c) ですが、暗黙の条件(1+s)≠0があるから、安心して約分できます。
  = 2/c ふたたび、暗黙の条件c≠0によって、この式は確かに意味があります。
という訳で、答は
  2/cosθ

三角関数以前に、基礎の基礎、分数の通分(つうぶん)や括弧をはずす操作の練習しなくちゃだめです。

 以下、めんどくさいから
  c = cosθ, s = sinθ
と書く事にします。さて、そもそも
  c/(1+s) + (1+s)/c
という式が意味を持つためには、(1+s)≠0かつc≠0でなくてはならない。つまり、この問題は暗黙のうちに「ただし(1+s)≠0かつc≠0であるものとする」という条件が付いているんです。

 ということを念頭に置いて取りかかりますと、
  c/(1+s) + (1+s)/c を通分して
  = (c^2 + (1+s)^2) /...続きを読む

Qオイラーについて

レオンハルト・オイラーって、凄い数学者なんですってね。
どのくらい凄いのか教えてください。

Aベストアンサー

まずは、
http://ja.wikipedia.org/wiki/レオンハルト・オイラー

業績として例えばオイラーの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの等式
これは複素関数を考える上でもっとも基礎的な考えの一つ。

またゼータ関数を最初に考えた。位相幾何学のはじめ。変分法や整数論の業績。また立派な教科書を書いたので、記号法や叙述の仕方など現在に続くものも多い。
また物理や応用数学にも多大な業績があり、非粘性流体のオイラーの方程式なんてのもある。
天体物理学では多体問題の一部、を解決し、ラグランジュによるラグランジュ点(ラグランジュ・ポイント。ガンダムのコロニーとかにも関係あり)の理論につながる。

彼の全集は死後220年余りにもなるのにいまだ完結していない。

くわしくは、検索してみてください。あれもこれもオイラーとガウスからはじまったのだなあ、という気がしてしまいますから。

Q不等式 cosθ +√(3)sinθ = √(2) (0≦θ≦2π)の

不等式 cosθ +√(3)sinθ = √(2) (0≦θ≦2π)の分りやすく教えてください。

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Aベストアンサー

単振動の合成則を用います。
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問題はa=√3, b=1
√(a^2+b^2)=2
cosq=a/√(a^2+b^2)=√3/2
sinq=b/√(a^2+b^2)=1/2
q=30°

cosp +√3sinp = 2sin(p+30°)=√2 

sin(p+30°)=√2/2

p+30°=45°またはp+30°=135°

p=15°または105°


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