級数
C^n級 C^∞級 疑問

C^n級とは、n階微分可能な関数を意味すると認識しています。
C^∞級とは、n階以上微分可能な関数のことを指して言うのでしょうか?

C^n級とC^∞級の違いはなんでしょうか?


剰余項について、
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))→A
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)→B
AとBが等価なのが理解できません。
AはΣの範囲が∞です。Bは任意の自然数nです。

Bは任意の自然数nまで級数展開して、それ以降を剰余項で表しています。
Bは無限級数展開可能であるのに、n+1で打ち切っているのが理解出来ない点です。


C^1級関数の例として、y=|x|^2は適切でしょうか?
y=|x|はx=0で微分可能でありません。
つまり、y=|x|はC^0級だと認識しています。
そこで、y=|x|^2はx=0で一階微分できるので、C^1級と考えました。
この考えはおかしいでしょうか?


以上、ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

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A 回答 (7件)

> C2 ⊂ C3 ⊂ C4 ⊂ …


> C4はC3を含む,C3はC2を含む…
> ではないですか?

3階連続的微分可能な関数は、2階連続的微分可能でもあります。
3回微分できるためには、2回微分できてないと駄目ですからね。
つまり、f∈C3 ⇒ f∈C2 です。逆は、成立つとは限りません。
それって、C3 ⊂ C2 ってことですよね。
たくさん微分できるほうが、条件がきつく、集合は小さいのです。

そこ、ひっかかる場所ですか?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
仰る通りですね。理解できました。

剰余項の評価に関して新しく質問させて頂きますので、
ご回答頂ければ幸いです。

お礼日時:2011/04/27 17:32

A No.4 は無視して再質問するってことですかね。


そいつは残念。
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三点め:


|x|の2乗 は、実関数としては、xの2乗 と同じですから、
C1級でもありますが、更にC∞級でもあります。
C1とC∞の関係については、一点めで書いたとおりです。
|x|の2乗 を複素関数と見る場合には、
x=0 で一回も微分できませんから、
C0級(連続関数)ということになります。
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二点め:


A と B が同じになるのは、lim[n→∞]R(n+1) = 0 だからです。
なぜかって? そうなる場合だけ、関数が巾級数展開可能だからです。
limR(n+1) = 0 となる係数列が無ければ、巾級数展開不能で、
A が収束しないだけです。そのような関数もあります。

B を有限項で打ち切っていることについては、
打ち切ったことで生じた誤差こそが、剰余項なのです。
それが 0 に収束しなければならないということ。
巾級数に限らず、級数の和を考えるときには、
部分和の極限を考えるものでしたね?
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一点め:


C2級は、(少なくとも)2回微分できて、2階導関数が連続、
C3級は、(少なくとも)3回微分できて、3階導関数が連続、
Cn級は、(少なくとも)n回微分できて、n階導関数が連続です。
C2 ⊃ C3 ⊃ C4 ⊃ … なので、
「n回微分できて」というより、「n回以上微分できて」が正しい。
それに対し、C∞級は、何回でも微分できて、各階導関数が連続です。
∞階導関数というものが存在する訳ではありませんから、
「何回でも」というところがミソです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
巾級数展開可能の場合に同じになるのですね。
つまり、剰余項R(n+1)がlim[n→∞]R(n+1) = 0になれば、
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))と表せるのですね。
Rは実際(1/((n+1)!))なので、0に収束すると理解できます。
よって、e^xは巾級数展開可能であると理解したのですが、e^xの場合lim[n→∞]R(n+1) における
Rはどのように計算(評価)されるのでしょうか?


剰余項に関して、
R(n+1)やR(x^(n+1))などと表記されるようですが、なにか
違いはありますか?


C2 ⊃ C3 ⊃ C4 ⊃ …について、
C2はC3を含む,C3はC4を含む…
と理解したのですが、
C2 ⊂ C3 ⊂ C4 ⊂ …
C4はC3を含む,C3はC2を含む…
ではないですか?

お手数をお掛けしますが、何卒ご回答よろしくお願い致します。
ご回答のおかげでなんとなくですが理解できてきました。

補足日時:2011/04/26 18:10
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参考URLに詳しく載っていますのでお読み下さい。


要するに(n+1)項以降が余剰項(表現法は色々存在する)で置き帰られることについては
マクローリンの定理とマクローリン級数展開の関係でしょう(テーラーの定理とテーラー級数展開の関係も同様)。

参考URL:http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/040 …

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
URL読んで見ました。
C^∞級を無限階微分可能と書いてありますが、
これは正しい主張ですか?
前回頂いた回答では、無限階微分なんてと
指摘されました・・・

補足日時:2011/04/26 18:05
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え?



「C^n級とは、n階微分可能な関数を意味すると認識しています。」
がすでに間違ってる. 条件が足りない.

まあ「C^∞級とは、n階以上微分可能な関数のことを指して言うのでしょうか?」という疑問も無意味だけどね. いったいどこから「n」が出てきたのか.
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