級数
C^n級 C^∞級 疑問
C^n級とは、n階微分可能な関数を意味すると認識しています。
C^∞級とは、n階以上微分可能な関数のことを指して言うのでしょうか?
C^n級とC^∞級の違いはなんでしょうか?
剰余項について、
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))→A
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)→B
AとBが等価なのが理解できません。
AはΣの範囲が∞です。Bは任意の自然数nです。
Bは任意の自然数nまで級数展開して、それ以降を剰余項で表しています。
Bは無限級数展開可能であるのに、n+1で打ち切っているのが理解出来ない点です。
C^1級関数の例として、y=|x|^2は適切でしょうか?
y=|x|はx=0で微分可能でありません。
つまり、y=|x|はC^0級だと認識しています。
そこで、y=|x|^2はx=0で一階微分できるので、C^1級と考えました。
この考えはおかしいでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
> C2 ⊂ C3 ⊂ C4 ⊂ …
> C4はC3を含む,C3はC2を含む…
> ではないですか?
3階連続的微分可能な関数は、2階連続的微分可能でもあります。
3回微分できるためには、2回微分できてないと駄目ですからね。
つまり、f∈C3 ⇒ f∈C2 です。逆は、成立つとは限りません。
それって、C3 ⊂ C2 ってことですよね。
たくさん微分できるほうが、条件がきつく、集合は小さいのです。
そこ、ひっかかる場所ですか?
ご回答ありがとうございます。
仰る通りですね。理解できました。
剰余項の評価に関して新しく質問させて頂きますので、
ご回答頂ければ幸いです。
No.5
- 回答日時:
三点め:
|x|の2乗 は、実関数としては、xの2乗 と同じですから、
C1級でもありますが、更にC∞級でもあります。
C1とC∞の関係については、一点めで書いたとおりです。
|x|の2乗 を複素関数と見る場合には、
x=0 で一回も微分できませんから、
C0級(連続関数)ということになります。
No.4
- 回答日時:
二点め:
A と B が同じになるのは、lim[n→∞]R(n+1) = 0 だからです。
なぜかって? そうなる場合だけ、関数が巾級数展開可能だからです。
limR(n+1) = 0 となる係数列が無ければ、巾級数展開不能で、
A が収束しないだけです。そのような関数もあります。
B を有限項で打ち切っていることについては、
打ち切ったことで生じた誤差こそが、剰余項なのです。
それが 0 に収束しなければならないということ。
巾級数に限らず、級数の和を考えるときには、
部分和の極限を考えるものでしたね?
No.3
- 回答日時:
一点め:
C2級は、(少なくとも)2回微分できて、2階導関数が連続、
C3級は、(少なくとも)3回微分できて、3階導関数が連続、
Cn級は、(少なくとも)n回微分できて、n階導関数が連続です。
C2 ⊃ C3 ⊃ C4 ⊃ … なので、
「n回微分できて」というより、「n回以上微分できて」が正しい。
それに対し、C∞級は、何回でも微分できて、各階導関数が連続です。
∞階導関数というものが存在する訳ではありませんから、
「何回でも」というところがミソです。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
巾級数展開可能の場合に同じになるのですね。
つまり、剰余項R(n+1)がlim[n→∞]R(n+1) = 0になれば、
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))と表せるのですね。
Rは実際(1/((n+1)!))なので、0に収束すると理解できます。
よって、e^xは巾級数展開可能であると理解したのですが、e^xの場合lim[n→∞]R(n+1) における
Rはどのように計算(評価)されるのでしょうか?
剰余項に関して、
R(n+1)やR(x^(n+1))などと表記されるようですが、なにか
違いはありますか?
C2 ⊃ C3 ⊃ C4 ⊃ …について、
C2はC3を含む,C3はC4を含む…
と理解したのですが、
C2 ⊂ C3 ⊂ C4 ⊂ …
C4はC3を含む,C3はC2を含む…
ではないですか?
お手数をお掛けしますが、何卒ご回答よろしくお願い致します。
ご回答のおかげでなんとなくですが理解できてきました。
No.2
- 回答日時:
参考URLに詳しく載っていますのでお読み下さい。
要するに(n+1)項以降が余剰項(表現法は色々存在する)で置き帰られることについては
マクローリンの定理とマクローリン級数展開の関係でしょう(テーラーの定理とテーラー級数展開の関係も同様)。
参考URL:http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/040 …
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
URL読んで見ました。
C^∞級を無限階微分可能と書いてありますが、
これは正しい主張ですか?
前回頂いた回答では、無限階微分なんてと
指摘されました・・・
No.1
- 回答日時:
え?
「C^n級とは、n階微分可能な関数を意味すると認識しています。」
がすでに間違ってる. 条件が足りない.
まあ「C^∞級とは、n階以上微分可能な関数のことを指して言うのでしょうか?」という疑問も無意味だけどね. いったいどこから「n」が出てきたのか.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2階微分d^2y/dx^2を詳しく教え...
-
x√xの微分
-
これらの数式を声に出して読む...
-
三角関数の微分の問題なんです...
-
分母が文字の分数を微分する方...
-
サイン二乗xの微分を教えてく...
-
log(1+x)の微分
-
3階微分って何がわかるの??
-
この問題を解いたら写真のよう...
-
虚数の入った積分
-
y=e^x*logxを微分すると e^x*(l...
-
不定積分の計算で出た定数は捨...
-
y^2をxについて微分してください
-
数学の微分の範囲で 増減を調べ...
-
d^2y/dx^2は何と読めばいいので...
-
二回微分して 上に凸下に凸 が...
-
e^sinxの微分
-
数学についての質問です。 1.f(...
-
微分や積分は何に利用できるの?
-
y=log(logx)の微分について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
2階微分d^2y/dx^2を詳しく教え...
-
サイン二乗xの微分を教えてく...
-
二回微分して 上に凸下に凸 が...
-
3階微分って何がわかるの??
-
授業で「yをxで微分する」とい...
-
分母が文字の分数を微分する方...
-
y^2をxについて微分してください
-
y=e^x^x 微分 問題
-
これらの数式を声に出して読む...
-
和積・積和の公式について質問...
-
log(1+x)の微分
-
三角関数の微分の問題なんです...
-
二次関数 y=x^2 を微分すると---
-
なぜ微分したら円の面積が円周...
-
不定積分の計算で出た定数は捨...
-
位置を微分したら速度?
-
lim[x→0](e^x - e^-x)/x
-
dxやdyの本当の意味は?
-
y=logxA(Aは定数)をxで微分
-
数3の「eのh乗引く1をでh割...
おすすめ情報