数学教えてください。

「(y-z)の5乗＋(z-x)の5乗＋(x-y)の5乗の因数分解しなさい」 この問題の解き方教えてください。 おねがいします。

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/04/28 17:22

x、y、zの交代式だから、パスカルの三角形を使って　ばらしてから因数分解という手もあるが、それも面倒そうだ。

それならば。。。。しかし、質問者が高1ならば、この方法は理解できるかな？

y-z＝α、z-x＝β、x-y＝γ　とする。α＋β＋γ＝0だから、αβ＋βγ＋γα＝m、αβγ＝n　とおく。
と、すると、α、β、γ　は　t＾3+mt-n＝0の3つの解。
t＾3+mt-n＝0　→　t＾3＝-mt＋n　だから、α＾3＝-mα＋n　→　α＾5＝-mα＾3＋nα＾2＝nα＾2-m(-mα＋n)＝nα＾2＋m＾2α-mn。
これは、βとγについても同じ事がいえる。

従って、α＾5＋β＾5＋γ＾5＝n(α＾2＋β＾2＋γ＾2)＋m＾2(α＋β＋γ)-3mn＝n*(0-2m)＋m*(0)-3mn＝-5mn。
n＝αβγ＝(y-z)*(z-x)*(x-y)。m＝αβ＋βγ＋γα＝実際に計算すると＝-(x＾2＋y＾2＋z＾2-xy-yz-zx)

以上より、(y-z)＾5＋(z-x)＾5＋(x-y)＾5＝5*(y-z)*(z-x)*(x-y)*(x＾2＋y＾2＋z＾2-xy-yz-zx)

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2011/04/28 17:35

a=y-z

b=z-x
とおけば、
x-y=-(a+b)
なので、

(y-z)^5＋(z-x)^5＋(x-y)^5
=a^5＋b^5－(a+b)^5
=－5a^4b－10a^3b^2－10a^2b^3－5ab^4
=－5ab(a^3＋2a^2b＋2ab^2＋b^3)
=－5ab{(a+b)(a^2-ab+b^2)＋2ab(a+b)}
=－5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)

a,bを元にもどして、

=5(y-z)(z-x)(x-y){(y-z)^2+(y-z)(z-x)+(z-x)^2}
=5(y-z)(z-x)(x-y)(x^2+y^2+z^2-yz-zx-xy)

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2011/04/28 18:10

f(x,y,z)=(y-z)^5+(z-x)^5+(x-y)^5　…(1)

f(x,y,y)=(y-y)^5+(y-x)^5+(x-y)^5=0 → 因数定理より(y-z)で割り切れる。
f(x,x,z)=(x-z)^5+(z-x)^5+(x-x)^5=0 → 因数定理より(x-y)で割り切れる。
f(x,y,x)=(y-x)^5+(x-x)^5+(x-y)^5=0 → 因数定理より(z-x)で割り切れる。

以上からf(x,y,z)は(x-y)(y-z)(z-x)で割り切れる。
f(x,y,z)はx,y,zについて５次の項だけからなるので、f(x,y,z)を(x-y)(y-z)(z-x)で割った余りはx,y,zの２次の項だけの式になり、
f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)(ax^2+by^2+cz^2+pxy+qyz+rzx)…(2)
と置くことができる。
(1)、(2)は同じ式なので恒等的に等しいことから、展開式の係数比較して係数を求めると
a=b=c=d=5,p=q=r=-5
(2)に代入すると
　f(x,y,z)=5(x-y)(y-z)(z-x)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
という因数分解結果が得られる。