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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
x=b^2+bc+c^2は、余弦定理より
bとcの間の角が120°の三角形の、残りの辺の長さの2乗ですね。
root(x)なら辺の長さです。
yやzについても同様です。
平面上にx軸とy軸の2本を直交させると座標平面ができますが、
同じようにa軸とb軸とc軸の3本を120°ずつずらして
一点で交わるように書いてみてください。(上の図)
a軸上にaの値を、b軸上にbの値を、c軸上にcの値をとると
それらを結んで三角形(一つの角度が180°になるとただの線分になりますが)
ができますね?
辺bcの長さがroot(x)
辺caの長さがroot(y)
辺abの長さがroot(z)
に一致します。
三角形の辺の長さの間には、
(一辺)<(他の二辺の長さの和)
という関係が成り立ちます。
この問題の場合は一つの角が180°になってもいいので
(一辺)≦(他の二辺の長さの和)
つまり
root(z)≦root(x)+root(y)
root(x)≦root(y)+root(z)
root(y)≦root(z)+root(x)
です。
この3つの不等式によって表される領域を
root(x)軸、root(y)軸、root(z)軸によって張られる空間上に
表すと左下の図、
x軸,y軸,z軸で表すと右下の図のようになります。
ただし、分かりやすいように
x^2+y^2+z^2=1(つまり(x,y,z)は単位球面上にある)
としています。
勿論一般には=1にはなりませんが、
その場合はx,y,zを同じ数で割って調整すればいいです。
さて、証明したい式の分子は
x^2+y^2+z^2
ですが、これは空間ベクトル(x,y,z)の絶対値ですね。
上で仮定したようにこれは1です。
分母
yz+zx+xy
は(x,y,z)と(y,z,x)の内積です。
この時点で分子と同じか、より小さいと分かりますね。
内積が最大値を取るのは2つのベクトルが一致した時、つまり(x,y,z)=(y,z,x)
の時で、この時分母=分子です。
次に内積が最小値を取る場合ですが、これは下の図の右側で言えば
(x,y,z)が領域の頂点に来る場合です。
この時(y,z,x)は別の頂点に来ます。
右下の図の領域を底面、原点を頂点とする三角錐は正四面体になるので
間の角は60°となり、内積をとるとcos60°=1/2倍になります。
このとき
分母=分子×1/2
なので右の不等式が成立します。
ただし、多分写し間違いだと思いますが等号は成立しません。
abc≠0ならxyz≠0になるから、領域の頂点は白丸です。
![「3変数4次式の絶対不等式」の回答画像1](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/c/513102_5497e8cdace96/M.jpg)
この回答へのお礼
お礼日時:2011/05/09 16:07
ありがとうございます。
ベクトル(x,y,z)の終点が、半径1の球面におけるある三角形内を動くと考えると、
(y,z,x)は直線x=y=zを軸として120度回転したものと考られ、
yz+zx+xyはそれらの2つのベクトルの内積と考えられるということですね。
びっくりする解法ですね。すごいです。
No.4
- 回答日時:
abc≠0だから
x=(b+c/2)^2+3c^2/4>0
y=(c+a/2)^2+3a^2/4>0
z=(a+b/2)^2+3b^2/4>0
0<yz+zx+xy
x^2+y^2+z^2-(yz+zx+xy)
={(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2}/2≧0
↓
0<yz+zx+xy≦x^2+y^2+z^2
↓
1≦(x^2+y^2+z^2)/(yz+zx+xy)
2(yz+zx+xy)-(x^2+y^2+z^2)
=2{(c^2+ca+a^2)(a^2+ab+b^2)+(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)+(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}
-(b^2+bc+c^2)^2-(c^2+ca+a^2)^2-(a^2+ab+b^2)^2
=3b^2c^2+3c^2a^2+3a^2b^2+6bca^2+6acb^2+6abc^2
=3(bc+ca+ab)^2≧0
↓
0<x^2+y^2+z^2≦2(yz+zx+xy)
↓
(x^2+y^2+z^2)/(yz+zx+xy)≦2
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