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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.1に補足です.
(1)は次のように説明した方がよかったかもしれません.
(1)で示すべき不等式の右辺を見ると,
これはANo.1で述べたポイントの不等式
[x] <= x < [x] + 1
がそのまま使える形になっています.
つまり,
n a / (n - a) < [n a / (n - a)] + 1
が成り立ちますね.
したがって,実は
n <= n a / (n - a)
さえ示せればよい,ということがわかります.
さらに,いま n は正の数なので,
1 <= a / (n - a)
さえ示せればよいですね.
この不等式はANo.1で述べたように,関係式
0 < n - a <= a
から導かれます.
No.1
- 回答日時:
Gauss記号に関する問題のポイントは,
Gauss記号の定義から直ちに得られる以下の二つの不等式です:
[x] <= x < [x] + 1,
x - 1 < [x] <= x.
このことに注意し,まず,最初に与えられた不等式
[a] + 1 <= n <= [2 a]
について考えてみましょう.
すると,不等式中に現れたGauss記号に関して
[a] <= a < [a] + 1,
[2 a] <= 2 a < [2 a] + 1
より,
a < n <= 2 a
という関係が得られます.
次に,(1)で示すべき不等式を見ると,
結局,右辺の
a / (n - a)
が 1 以上であることを示せばよいだけですね.
なぜなら,もし
1 <= a / (n - a)
が成り立てば,
n <= n a / (n - a)
が成り立ち,
両辺にGauss記号を付けて,
(n =) [n] <= [n a / (n - a)]
が言えますからね.
そこで,先ほど得られた関係式を少し書き換えて
0 < n - a <= a
としましょう.
後は頑張ってください.
(2)に関しては,示すべき不等式を少し変形すると,
実は
n a / (n - a) < [n a / (n - a)] + 1
を示せばよいということがわかります.
こちらは,上に掲げたポイントがわかっていれば,すぐに解けますね.
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