逆三角関数の問題です。

次の式を簡単にせよ。
arctan(1/2)+arctan(1/3)
arcsinx+arccosx

という問題で、解法には、それぞれtan(与式),sin(与式)とあり、
答えはπ/4,π/2となっているのですが、
どのようにこの答えが導き出されたのかが分かりません。
どなたか解説していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/05/16 07:35

前半）

arctan(1/2)=A, arctan(1/3)=Bとおくと
arctan(1/2)+arctan(1/3)=A+B

tanA=1/2,tanB=1/3なので 0<B<A<π/4 …(1)

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA tanB)
={(1/2)+(1/3)}/{1-(1/2)(1/3)}
　　　　=(3+2)/(6-1)
　　　　=5/5=1

(1)から　0<A+B<π/2なので

∴A+B=arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4

後半）
arcsinx=A, arccosx=B…(2) とおくと　arcsin,arccosの定義(域)から
　-π/2≦A≦π/2 …(3), 0≦B≦π …(4)
x=sinA,x=cosB
sinA=cosB　…(5)

三角関数の公式から　cos(B)=sin(π/2-B)なので (5)は

　sinA=sin(π/2-B)

(3)から　 -π/2≦A≦π/2
(4)から　-π/2≦π/2-B≦π/2
また　sin Xは　-π/2≦X≦π/2　の範囲で単調増加の一価関数であるから
　∴A=π/2-B

(2)を代入

　A=π/2-B
　arcsinx=π/2 -arccosx
∴arcsinx+arccosx=π/2

No.3 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/05/15 23:32

両方とも加法定理を使えばできると思います。

2つ目は加法定理を使わなくても、三角形を眺めていればできるかもしれません。

1だけ説明してみます。

1. 加法定理を使えばtan (与式)=1。
こうなる与式の値としては、π/4にπの整数倍を加えたもの全てふさわしいですね。
でもおそらくarc tanは主値を考えてる。
なので
0<与式≦π/2+π/2=π。
したがって与式=π/4。

No.2 回答者： OurSQL 回答日時： 2011/05/15 23:30

ごめんなさい。

arc の後にある括弧、取り除いてください。

No.1 回答者： OurSQL 回答日時： 2011/05/15 23:28

p = arc(tan(1/2)), q = arc(tan(1/3)) とおけば、

tan p = 1/2, tan q = 1/3
あとは tan(p + q) = 1 を示すだけ。

θ = arc(sin x) とおけば、
x = sin θ = cos(π/2－θ)
これより、arc(cos x) を θ を用いて表す。