１次変換の問題について

１次変換についての問題をといています。
次の問題について教えてください

次の各行列で表される１次変換により自分自身に移される直線の方程式をすべて求めよ
行列　　　３ ２
　　　　　　２ ３

この問題の考え方からさっぱりです。
よろしくお願いします。

行列式が見にくくてすいません

No.6 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/05/23 17:07

１次変換の問題とするから、わからないんだろう。

座標の問題とすると、簡単。実際に、座標の問題なんだが。
やってみよう。

直線を　ax+by+c＝0とする‥‥(1)。但し、aとbは同時に0にならない。
点(3x+2y、2x+3y)が(1)の上にあるから、a(3x+2y)＋b(2x+3y)+c＝0　　→　(3a+2b)x＋(2a+3b)y+c＝0　‥‥(2)。
題意から、(1)と(2)が一致するから、(3a+2b)/(a)＝(2a+3b)/(b)＝c/c
・c＝0のとき、(3a+2b)/(a)＝(2a+3b)/(b)　よりa＝±bだから、(1)は　y＝±x
・c≠0のとき、(3a+2b)/(a)＝(2a+3b)/(b)＝1　よりa＋b＝0　となるから、(1)は　a(y-x)＋c＝0　→　y＝x＋m　とあらわせれる。但し、mは任意の実数。

以上から、求めるものは　y＝-x、y＝x＋m　但し、mは任意の実数

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/05/22 19:05

これ結構奥が深そうですよ。

直線の方程式を x = x0 + at(x は直線上の点、x0とaは固定ベクトル、 t は媒介変数)
とすると、A を一次変換行列とすると

x' = Ax = A x0 + Aat

ベクトル a は直線の傾きで、その方向は一次変換後も変化しないはずだから、Aa = λa
なので、λ(≠ 0)が A　の固有値で、aは固有ベクトルになるはず。

特性方程式 det(A - λI) = 0 から λ=1, 5(λ1=5, λ2=1) なので、
固有ベクトルは b = (1, 1) (λ1 = 5)、c = (1, -1) (λ2=1)

b と c は一次独立だから x0 = d1 b + d2 c (d1, d2は複素定数)
とし、まず、a = b とすると

A x0 = λ1 d1 b + λ2 d2 c

x0 の c ベクトルの係数は一次変換で変化してはいけないはずなので
d2 = λ2 d2 だから d2 = 0 又は λ2 = 1 だが、λ2 = 1 なので、d2 は
任意の値でよいことになる。つまり

■直線 x = x0 + t(1, 1) (x0 は任意) は A によって自身に写される。

次に、a = c の場合ですが、この場合は　x0 の b ベクトルの係数が
変化してはいけないので　d1 = λ1 d1 だから d1 = 0 又は λ1 = 1 だが、
λ1 ≠ 1 なので d1 = 0。つまり

■直線 x = t(1, -1) (x0 は任意) は A によって自身に写される。

以上、まとめると、傾きが 1 の直線は全て A で自身に写されますが、
傾きが -1 の直線は、原点を通る直線しか自身に写されません。

以上です。いや、面白かった。

No.4 回答者： partita 回答日時： 2011/05/22 17:38

(2)に代入したら(3)が得られるでしょ。

No.3 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/05/22 16:58

これ以上詳しく解説しても、あなたのためになるとは思えません。

行間を補うくらいの作業を自分でやらないで、どうするんですか。

No.2 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/05/22 15:57

直線の方程式を

ax+by=c (1)
として、(x, y)が(1)を満たす限り、(x, y)を変換した(x', y')も
ax'+by'=c　　(2)
を満たすような、係数(a, b, c)を求めればいい。

(x', y')=(3x+2y, 2x+3y)
だから、(1)が成り立つとき、(2)は
bx+ay=-c　　(3)
に帰着される。
(1)が成り立つ限り(3)が成り立つようにするには(a, b, c)にどんな条件をおけばいいか。
a=b、c=0
以外はどうでしょうか?

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
(x', y')=(3x+2y, 2x+3y)
だから、(1)が成り立つとき、(2)は
bx+ay=-c　　(3)
に帰着される。
というところがよくわかりません。
もう少し詳しく解説おねがいできませんか？

お礼日時：2011/05/22 16:31

No.1 回答者： 1ypsilon1 回答日時： 2011/05/22 15:08

一次変換

座標平面上の点 P（ｘ，ｙ）に点 Q（ｘ’，ｙ’） を対応させる変換（行列）Ａがあるとき，
ＡＰ＝Ｑ
で表されるという一次変換の概念は大丈夫でしょうか？

これがわかれば、あとは自分自身にうつるということだけです。
行列をＡ，変換前のＰ（ｘ、ｙ），変換後のＱ（ｘ、ｙ）　という形になります。
自分自身に移るというのは変換前と変換後が同じということになります。
あとは行列計算をしましょう。

ｙ＝－ｘ　が答えかなと思います☆

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
１次変換の概念はわかります。
変換前と変換後が同じということはわかりました。

ですが答えはもうひとつあるらしく
y=x+m(mは任意の実数)
だそうです

こちらの出し方もわらしましたらお願いします

お礼日時：2011/05/22 16:30