No.5ベストアンサー
- 回答日時:
x = c*sin(r+arcsin(x/d)) (|x/d|≦1)…(☆)
x = c*sin(r)cos(arcsin(x/d))+cos(r)sin(arcsin(cx/d))
= c*sin(r)√{1-(x/d)^2}+cos(r)(cx/d) (|x/d|≦1)
x{1-(c/d)cos(r)}=c√{1-(x/d)^2}sin(r) (|x/d|≦1)
(x^2){1-(c/d)cos(r)}^2=(c^2){1-(x/d)^2}sin^2(r)
(x^2){1-(c/d)cos(r)}^2=(c^2)sin^2(r)-(x^2)(c/d)^2*sin^2(r)
(x^2)[{1-(c/d)cos(r)}^2+(c/d)^2*sin^2(r)]=(c^2)sin^2(r)
x^2 = (c^2)sin^2(r)/[{1-(c/d)cos(r)}^2+(c/d)^2*sin^2(r)]
= (c^2)sin^2(r)/{1+(c/d)^2 -2(c/d)cos(r)}
∴ x = ±c*sin(r)/√{1+(c/d)^2 -2(c/d)cos(r)} (|x/d|≦1)…(▲)
添付図の説明
(☆)の右辺をyと置いたグラフを黒線、y=xのグラフを青線、
これらの2つのグラフの交点のx座標が(☆)の式を満たすxの解を示します。
(☆)の式をxについて解いた(▲)のx=(解)のグラフを紫線で示す。x座標が解です。
このx座標(解)の直線が(☆)の式のx座標と一致していることをグラフが示している。
したがって(▲)の式のx=…の式が正しいことが確認できる。
(☆)のxの定義域|x/d|≦1を図の黄色の領域で、図は
d=2,c=2,r=π/4
の場合(この場合は(▲)の+の方の解のみ)である。
なお、d,c,rの取り得る範囲はd>0,-∞<c<∞, -∞<r<∞です。
これらの範囲でxは「-d≦x≦d」の範囲の値をとる。
xの解は、cの値によって、(▲)の式の±の符号の2つともの場合とどちらか一方のみの解の場合があります。
回答ありがとうございます。
詳細な式と説明のおかげで、自分でもすぐに理解できました。
丁寧にグラフまで作成して頂いて、本当にありがとうございます。
解が片方しかない場合というのも、グラフを見るととても分かりやすいですね。
計算も合う事を確認しました。
とにかく徹夜してでも解こうと思っていたもので…本当に助かりました。
またもう一度読み返して理解を深めようと思います。
No.4
- 回答日時:
そうですか。
計算はちょっと自信ないですのでお任せしますやっているのは余弦定理です
AB=d,BC=x,DB=c,∠ABD=rとしてます
(A,D,Cは同一直線上で∠ACB=90度です)
三角形ABDで余弦定理してみてください
No2はc/x,d/xでやってました図形も違います。すみません。
解法の説明をありがとうございます。
図を書いて解いていましたが、No.5の方の
回答があったため、ここで締め切らせて頂こうと思います。
(解くのが遅くてすみません)
ただ、とても興味深い解法だと思ったので
この方法も研究してみようと思います。
どうもありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
すみません
cosr=[c^2+d^2-{√(d^2-x^2)-√(c^2-x^2)}^2]/2cd
cdcosr=x^2+√{(d^2-x^2)(c^2-x^2)}
(cdcosr-x^2)^2=(d^2-x^2)(c^2-x^2)
(c^2+d^2-2cdcosr)x^2=c^2d^2(1-cos^2r)
x=±cd(1-cos^2r)/√(c^2-2cdcosr+d^2)
回答ありがとうございます。
式の導出の過程の理解が追いつかず、とりあえず
No.2とNo.3両方とも計算して確認したのですが、
何回やっても計算が合いません…
(計算ミスでしたら申し訳ありません)
ただ、図形から考えるというヒントは頂けたので
そこから何か出来ないかと頑張っています。
何か追加のアドバイス等ありましたらお願い致します。
No.2
- 回答日時:
図形で考えて
cosr=1-√[(d-c)^2+{√(x^2-d^2)-√(x^2-c^2)}^2]/x^2
(1-cosr)^2={(d-c)^2+2x^2-d^2-c^2-2√{(x^2-c^2)(x^2-d^2)}/x^2
4((x^2-c^2)(x^2-d^2)=x^4{4-(1-cosr)^2}-2cd{4-(1-cosr)^2}x^2+4c^2d^2}
(1-cosr)^2x^4+2{2(c-d)^2-(1-cosr)^2}x^2=0
x=±√[2{(1-cosr)^2-2(c-d)^2}/(1-cosr)^2], 0
No.1
- 回答日時:
arcsin を使う方向へもって行こうとするから
うまくいかないのです。
sin を使う方向へもって行きましょう。
y = arcsin(x/d) と置くと、
x = d sin(y),
x = c sin(r+y).
です。
sin(r+y) を加法定理で展開した後、
cos(y) を sin(y) で表して消去するために、
x の値の範囲で場合分けする必要がありますね。
回答ありがとうございます。
ご指摘の方向でやってみたのですが、cos(y)の消去で詰まっています…
x = c * { sin(r)cos(y)+cos(r)sin(y) }
cos(y)=√{1-sin^2(y)}
x = c * [ sin(r)√{1-sin^2(y)} + cos(r)sin(y) ]
こんな感じで進めていますが、追加のアドバイス等ありましたら
出来ればお願いします。
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