3つの数で割るとそれぞれ違うあまりが出る数の求め方

Question

ある数を３、５、７で割るとそれぞれ１、２、３が余りました
答えは52ですがどういう式で求めるのか教えてください

nag0720 · Accepted Answer

余りに０．５を足すとそれぞれ割る数の半分になっています。

問題の数をすべて倍にして、
「ある数を６、１０、１４で割るとそれぞれ２、４、６が余りました」
として考えると、
ある数に１を足すと、３、５、７で割り切れて、６、１０、１４では割り切れない数になります。

３、５、７で割り切れる数は３×５×７＝１０５で、１０５は６、１０、１４では割り切れません。

よって、ある数とは、１０５－１＝１０４で、
倍にして考えていたから、半分の５２が答になります。

178-tall · Answer

No.6 です。

「一般解」に気を取られて、No.4 さんのコメントをリピートしてしまいました。
無視してください。

178-tall · Answer

ある答え N は
　　n + 105k　(k=1, 2, 3, ...... )
の形で表せるらしい。

…ので、題意を満たす N を作ってみる。
　・5*7 = 35 の倍数で 3 で割ると 1 余る数：70
　・3*7 = 21 の倍数で 5 で割ると 2 余る数：42
　・3*5 = 15 の倍数で 7 で割ると 3 余る数：45

3 つの合計は、
　157 = n + 105k
k = 1 のとき、非負 n の最小値 = 52 。

178-tall · Answer

どうやらテストみたいですが、一般解
　　52 + 105k　(k=1, 2, 3, ...... ) 
を書かなくてもいいのかな？

原題には、「最小数を書け」とかあるのかも…。

momordica · Answer

まず、
「５でも７でも割り切れるが、３で割ると１余る数」　…（１）
「３でも７でも割り切れるが、５で割ると２余る数」　…（２）
「３でも５でも割り切れるが、７で割ると３余る数」　…（３）
を考えます。
そして、それらの３つの数の和を考えると、
（２）の数と（３）の数は３で割り切れ、（１）の数は３で割ると１余るので、
これら３つの和は３で割ると１余ります。
同様にこの和は、５で割ると２あまり、７で割ると３余る数になります。

ここで、５と７の最小公倍数は　５×７＝３５＝３×１１＋２なので、これを２倍すれば、
　３５×２＝７０＝３×２３＋１
となり、７０は条件（１）を満たします。
同様に、
３と７の最小公倍数は　３×７＝２１＝５×４＋１なので、これを２倍して、
　２１×２＝４２＝５×８＋２
３と５の最小公倍数は　３×５＝１５＝７×２＋１なので、これを３倍して、
　１５×３＝４５＝７×６＋３
となるので、４２と４５はそれぞれ条件（２）（３）を満たす数です。

この７０、４２、４５を加えると、
　７０＋４２＋４５＝１５７
　　＝３×５２＋１
　　＝５×３１＋２
　　＝７×２２＋３
となり、３数の和１５７は、３で割ると１余り、５で割ると２余り、７で割ると３余る
という条件を満たしています。

質問者さんの問題の条件だけだとこの１５７も答の一つになるのですが、
この１５７に３と５と７の公倍数を足したり引いたりした数も条件を満たすので、
　１５７－１０５＝５２
より、５２も条件を満たす数になります。

割る数が４種類以上になったりした場合も、同様の方法で条件を満たす数が求められます。

sayumi0570 · Answer

X=3A+1　(1)　　X=5B+2　(2)　X=７C+3
３A+1=５B+2　　　　３（A-2)＝５（B-1）

A-2=5k　　B-1=3K　　とすると
A=5K+2　　(1)に代入　X=15k+7

５B+2=７C+3　　５（B+4)＝７（ｃ＋３）
B+４＝７ｓ　　C+3=5s　　とすると　B=7s-4　これを(2)に代入
X=35s-18

X=15k+7
X=35s-18
より　　１５K+7＝３５ｓ－１８
KとSに１，２，３　　と代入すると　K＝３　S=2　　で５２になります

morchin · Answer

ヒント。
x = 3*a + 1
x = 5*b + 2
x = 7*c + 3

3つの数で割るとそれぞれ違うあまりが出る数の求め方

余りに０．５を足すとそれぞれ割る数の半分になっています。

No.6 です。

ある答え N は

どうやらテストみたいですが、一般解

まず、

X=3A+1 (1) X=5B+2 (2) X=７C+3

ヒント。

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