力学

いまいちわかりません。よろしくお願いします。

力の場F(x,Y)=(cy^2,cx^2)の中で失点を原点から点P(1,1)まで動かすのに要する仕事を求めよ。
ただし、cは単位(N/m^2)をもつ定数である。
(1)経路A(y=x)の場合。
(2)経路B(y=x^2)の場合。
(3)経路C(Oから(1,0)まで直線で行き、(1,0)から(1,1)まで行く)場合。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/06/20 18:49

F = (c y^2, c x^2) = (Fx, Fy) と置くと

∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y = 2c x - 2c y ≠ 0

なので，この力は保存力ではありません．

以下 r = (x, y) と置きます．

(1)
経路A: (x, y) = (t, t) (0 ≦ t ≦ 1)
とパラメタ表示できるので，

dr = (1, 1)dt

W = ∫[A] F・dr = 2c∫[0,1] t^2 dt = (2/3) c.

(2)
経路B: (x, y) = (t, t^2) (0 ≦ t ≦ 1)
とパラメタ表示できるので，

dr = (1, 2t)dt

W
= ∫[B] F・dr
= c∫[0,1] (t^4 + 2t^3)dt
= c(1/5 + 1/2)
= (7/10) c.

(3)
添付図参照．
W
= ∫[C] F・dr
= ∫[0,1] Fx(x,0) dx + ∫[0,1] Fy(1,y) dy
= 0 + c∫[0,1] dy
= c.