赤いところがわからないのですが得意な方教えていただけませんか…どうしても1/2が出てくる理由がわかりません
運動方程式の、距離の微分です。

Question

yhr2 · Accepted Answer

No.3です。「お礼」に書かれたことについて。

＞「(dx/dt)^2をtで微分する、ということをやっているだけ」というのは、
＞m・(d^2x/dt^2)(dx/dt)dtのことでしょうか。

「m・(d^2x/dt^2)(dx/dt)dtのこと」って、どういう意味ですか？

(dx/dt)^2をtで微分すれば

d{(dx/dt)^2}/dt = [ d{(dx/dt)^2}/d(dx/dt) ][ d{(dx/dt)}/dt ] = 2(dx/dt)(d²x/dt²）　　　①

です。
これが、「？」の式から定数の「(1/2)m」を外に出して除外したもので、その上の式に対応しますよね？

①に「(1/2)m」をかければ、右辺が「矢印」の上の式、左辺が「矢印」の下の式で、その２つが等価だということを言っています。
ただそれだけのことです。
「一方向に変形する」というよりは、逆向きに計算して「等価であることが確認できる」ということです。

それが、画像の解説に書かれている「逆算してやれば変形の意味が分かるだろう」ということです。
数学では、一方向だけで考えるのではなく、双方向に考えてみることも大事です。

tknakamuri · Answer

これ、積の微分の公式から直ちに出てくるよね。
(ab)′=a'b+ab'、→(v^2)'=2v'・v

okada2728 · Answer

位置xは時間の関数なので丁寧に書けばx=x(t)です。これをこのまま時間tで微分すれば表記としてdx(t)/dt(＝速度v(t))ですね。ここでこの2乗である(dx(t)/dt)^2を考え時間tで微分するとその表記は(d/dt){(dx(t)/dt)^2}ですが、これは少し計算できて2*(d/dt){dx(t)/dt}*dx(t)/dt＝2*d^2x(t)/dt^2*dx(t)/dtとなりますね。
この最後の式が、変形前の式のmを除いた部分になっていることに注意して、
(d/dt){(dx(t)/dt)^2}＝2*d^2x(t)/dt^2*dx(t)/dt
で、両辺を2で割って左右を入れ替えると
d^2x(t)/dt^2*dx(t)/dt＝(1/2)*(d/dt){(dx(t)/dt)^2}＝(d/dt){(1/2)*(dx(t)/dt)^2}
（第3辺は定数1/2を微分記号の中に入れた）

でいかがでしょうか。

drmuraberg · Answer

m(d^2/dt^2)(dx/dt)　→　d｛m(dx/dt)^2/2｝/dt と計算しているのでは
ありません。

まず、d｛m(dx/dt)^2/2｝/dt を計算してみよう。
そうすると
d｛m(dx/dt)^2/2｝/dt　→m(d^2/dt^2)(dx/dt)　となる事が解る。
それで＜次のように書き直せる。＞と言っているのです。

この事は＜逆算してやれば変形の意味が分かるだろう。＞に述べられて
います。

どういう手順で計算すれば、（？）の式が得られるかは説明できません。

yhr2 · Answer

No.3です。あ、失礼、ちょっと違った。

（誤）
「 dx/dt を t で微分する」ということをやっているだけです。
　　↓
（正）
「(dx/dt)^2 を t で微分する」ということをやっているだけです。

ですね。

yhr2 · Answer

No.2 です。「お礼」に書かれたことについて。

＞どの文字をどう微分しているのかが分からないので、できればそれを教えていただきたいです

「 dx/dt を t で微分する」ということをやっているだけです。

たとえば
　f(y)
を t で微分したいときに
　df/dt = (df/dy)(dy/dt)
とできるのはよいですか？

ここで
　y = dx/dt
　f(y) = y^2 = (dx/dt)^2
とおけば
　df/dy = 2y = 2(dx/dt)
　dy/dt = d²x/dt²
なので、
　(d/dt){(dx/dt)^2} = 2(d²x/dt²)(dx/dt)
になりますよね？

yhr2 · Answer

微積分をちゃんと勉強していますか？

x^2 を x で微分すれば
　(x^2)' = 2x
ですよ？

han-ka-2 · Answer

じゃ，1/2 をつけずに矢印の先からその上が誘導できるかどうかを確かめてみたらどうでしょうか？　積分ですからねぇ。

赤いところがわからないのですが得意な方教えていただけませんか…どうしても1/2が出てくる理由がわかり

No.3です。

これ、積の微分の公式から直ちに出てくるよね。

位置xは時間の関数なので丁寧に書けばx=x(t)です。

m(d^2/dt^2)(dx/dt) → d｛m(dx/dt)^2/2｝/dt と計算しているのでは

No.3です。

No.2 です。

微積分をちゃんと勉強していますか？

じゃ，1/2 をつけずに矢印の先からその上が誘導できるかどうかを確かめてみたらどうでしょうか？ 積分ですからねぇ。

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