三角形の面積の２等分の問題です。

三角形ABCがあります。
辺AB上のPを通り、三角形ABCの面積を二等分する線を作図し、説明しなさい。（Pは辺ABの中点ではない。）
同じ質問があったのですが、回答を見てもわからなかったので、質問させていただきます。
どうか宜しくお願いいたします。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/24 23:17

P と △ABC の重心を直線で結べばよいです。

この回答への補足

同じ質問への他の方の回答
「＞三角形の重心を通る直線はその面積を二等分しますか？
　　必ずそうなるとは限りません。特別なときだけです。
　　この問題は、ＰＣに平行な線とＡＢの中点から考えてみてください。」


同じ質問をした人の書き込み
「ABの中点をM、Mを通ってPCに平行な線とBCの交点をQ、PとQを結んだ線が正解ですよね。等積変形を利用するんですね。すっきりしました。ありがとうございました！」

とありますが？

補足日時：2011/06/24 23:57

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2011/06/25 00:09

点Pが辺ABの中点よりAに近いほうにあるものとして、

作図の手順は、
(1)辺AB上に、PD=PAとなる点D（Aと反対側）をとる。
(2)点Dを通る辺PCと平行な直線を引き、辺BCとの交点を点Eとする。
(3)辺BC上に、BF=CEとなる点Fをとる。
(4)線分CFの中点をGとする。
(5)直線PGが三角形ABCの面積を二等分する。

なぜなら、
(1)～(3)により、△PAC=△PDC=△PEC=△PBF となるので、
△PFCの面積を二等分する点Gを求めればいいことになります。

（Pと△ABCの重心を結んでも面積は二等分されません）

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/25 00:57

次のような操作でいけるかな。

ただし、AP>BPの場合に限る。(AP<BPの場合はAとBを置き換える)

(1)BCの中点をDとする。
(2)PDに平行でAを通る直線を引き、この直線とBCとの交点をEとおく。
(3)PEが求める線分である。

証明
△ABD=△ACD=(1/2)△ABC (a)(∵DはBCの中点)
△ABD=△PBD+△APD (b)
△APD=△EPD (c)(∵PD//AE (PDを底辺とする高さが同じ三角形である))
△PBE=△PBD+△EPD (d)
(b),(c),(d)より
△ABD=△PBD+△APD=△PBD+△EPD=△PBE
(a)に代入して
△PBE=(1/2)△ABC

No.4 回答者： momordica 回答日時： 2011/06/25 02:20

> 回答を見てもわからなかったので、質問させていただきます。

一体どういう回答がついて、それのどの辺が分からなかったのでしょうか。
回答の記述が分かりにくくて具体的なやり方が理解できなかったということなのか、
それとも、そのやり方でなぜ二等分になるのかという理屈が分からなかったという
ことなのか。
その辺りのことを書かずに漠然と「わからなかった」では、前と似たり寄ったりの
回答がつくだけだと思います。


> 「ABの中点をM、Mを通ってPCに平行な線とBCの交点をQ、PとQを結んだ線が
> 　正解ですよね。等積変形を利用するんですね。

前の回答がどんなものだったのかは知りませんが、それに対すると思われる
この質問者のコメントを見る限り、非常に適切な回答だったのだろうと思います。
一体どの辺りが分からなかったのでしょうか。

なお、Pが辺ABの中点よりB寄りの位置にある場合にも対応できるようにするなら、
　「ABの中点をM、Mを通ってPCに平行な線と『辺BCまたは辺AC』の交点をQ
　　とすると、PとQを結ぶ直線は三角形ABCを二等分する」
とでもすればいいでしょう。

No.5 回答者： angkor_h 回答日時： 2011/06/25 21:25

AP<PBとする。

三角形APCの面積と三角形PBCの面積の比は線分APとPBの比に等しい。
辺BC上に点Qを置いて、三角形APCの面積と三角形PBQの面積が等しい時、
更に線分QCを等分する点をRとするとき、
四角形APRCの面積と三角形PBRの面積は等しくなる。
これらを満足する辺BC上の点Qは次の関係にある。
AP：PB = BQ：BC

これらは、三角形の面積の2倍=底辺×高さであり、
面積の比率は、一方が同じであれば他方の比率に一致することの応用です。

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他の方の内容はよく読んでいません。同じ回答でしたらご容赦ください。