図形の問題がわかりません。

Question

閲覧ありがとうございます。

図形の問題がわかりません。教えてください。


問題を書きます。


図のように 円Ｏに内接する四角形 ＡＢＣＤがあります。2辺 AD, BE を延長し その交点を Ｃとし、∠ABE =90゜, 2AB =BC, AB =1, EはBCの中点とします。このとき、

∠ＡＤＥの大きさ と,円Ｏの直径と, ＤＥの長さを求めよ。

また、△ＡＢＣの面積は△ＣＤＥの面積の何倍か。


というのが問題です。

詳しく教えて戴ければ嬉しいです。

よろしくお願い致します

spring135 · Accepted Answer

⊿ABEにおいて∠ABEが円周角＝90°であることからAEは直径となり円の中心Oを通る。

AB=BE=1であることから,⊿ABEは直角2等辺三角形となりAE=√2

⊿ADEはAEが直径であるので円周角として∠ADEは直角である。

以上から

∠ＡＤＥの大きさ＝90°、円Ｏの直径＝AE=√2

以下にＤＥの長さ=xをもとめる。

⊿ABCにおいて、BC＝2、AC＝√（AB^2+BC^2)=√(2^2+1^2)=√5

⊿ABCと⊿EDCは2角が等しい（∠Cが共通、∠ABC=∠EDC=90°）ので相似、よって

AB/AC=DE/EC　⇒　1/√5＝x/1　⇒　x=1/√5

CD＝√(1-x^2)=√(1-1/5)=2/√5

⊿ABCの面積=AB・BC/2＝1

⊿CDEの面積＝CD・DE/2=(2/√5)・(1/√5)/2=1/5

△ＡＢＣの面積は△ＣＤＥの面積の5倍

opiok · Answer

ANo.4の補足です。

△ABE考えると、正弦定理から、
EA/sin90°=EA=円Oの直径
よって、円Oの直径は、三平方の定理から√（1^2+1^2）=√2

円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、
∠BAC=∠DEC
これから、△ABCと△CDEは、2角がそれぞれ等しく相似（2つの三角形共に直角三角形になる）
よって、∠CDE=90°であり、∠ADE=180°-90°=90°

△ABCと△CDEの相似比は、△ABCの斜辺CAの長さと△CDEの斜辺の長さの比を考えればいい
△ABCの斜辺CAの長さは、三平方の定理から√（2^2+1^2）=√5
△CDEの斜辺CEの長さは1
これから、△ABCと△CDEの相似比は、√5：1
よって、DE=AB*1/√5=1*1/√5=√5/5

また、△ABCと△CDEの面積比は、（√5）^2=5：1^=1
よって、△ABCの面積は△CDEの面積の5倍

なお、△ABCと△CDEは相似なので、△CDEと表わさず、対応する頂点の順に△EDCと表わしましょう。

opiok · Answer

△ABCと△CDEの相似比は、斜辺の長さの比で考えると簡単です。
（△ABCと△CDEが相似であることの証明は省略）

△ABCの斜辺の長さは、三平方の定理から、√（2^2+1^2）=√5
よって、△ABCと△CDEのの相似比は、√5：1
これから、△ABCと△CDEの面積比は、（√5）^2=5：1^=1
以上から、、△ABCの面積は△CDEの面積の5倍

sagiyama1650 · Answer

4倍です。△ＡＢＣと△ＣＤＥは2角が等しいので相似で、相似比は２：１だからです。
相似比が2：1なら面積比は4：1になります。なぜ相似かというと、円に内接知る四角形の対角の和は180°で、∠ABEが90°だから∠EDCも90°になり、∠Cは共通だからです。2組の角が等しい。円に内接する四角形の対角の和が180°であることは、円周角の定理から説明できますが、円の問題の基本定理として覚えておきましょう。

sagiyama1650 · Answer

４倍です。△ＡＢＣと△ＣＤＥは相似で、辺の比が２：１なので面積の比は４：１になります。
なぜ相似かというと、∠Cが共通で、∠ABE＝∠EDC ＝90°だからです。∠EDCは内接四角形の対角の和は180°という性質と∠ABE＝90°ということからわかります。

図形の問題がわかりません。

⊿ABEにおいて∠ABEが円周角＝90°であることからAEは直径となり円の中心Oを通る。

ANo.4の補足です。

△ABCと△CDEの相似比は、斜辺の長さの比で考えると簡単です。

4倍です。

４倍です。

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