数学II 三次関数の最大、最小の場合分け

数学II
三次関数の最大、最小の場合分け
a<0とする。関数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax の -2≦x≦2 における最大値と最小値を求めよ。
という問題です。
まずf(x)を微分して
f'(x)=6(x-a)(x-1)
a<0より、a<1です。

ここで増減表をかくのですが、-2≦x≦2 の範囲にaがあるかどうかで場合分けをします。
-2<a<0 のときと、a≦-2 としました。

-2<a<0 のとき、最大値の候補はf(a) か f(2) のとき、最小値の候補はf(-2) か f(1) です。
f(-2)=-28-24a
f(a)=-a^3+3a^2
f(1)=-2+3a
f(2)=4
最大値を考えたとき、さらに場合分けが必要だと思ったので
-a^3+3a^2 > 4 のとき、-a^3+3a^2 = 4 のとき、-a^3+3a^2 < 4 のとき
最小値も同じようにして場合分けをしました。

そしてa≦-2 のときも同じように場合分けをして結局

最大値
a≦-2 のとき、-28-24a
-2<a<-1 のとき、-a^3+3a^2
-1≦a<0 のとき、4

最小値
a<-26/27 のとき、-2+3a
-26/27<a<0 のとき、-28-24a

となりました。
一応答えは出したんですが、場合分けが多いし複雑なので
あっているのかどうかが分かりません。
まず、場合分けが正しいのかどうかが分かりません。

このような場合分けでいいのでしょうか?
間違っているところがありましたら教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/06/28 05:31

場合分けは合ってますが、ところどころ計算ミスしています。

f(1)=-1+3a

f(a)-f(-2)=(-a^3+3a^2)-(-28-24a)=(7-a)(a+2)^2≧0


最大値
a<-1 のとき、-a^3+3a^2
-1≦a<0 のとき、4

最小値
a<-1 のとき、-2+3a
-1≦a<0 のとき、-28-24a

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/07/28 18:43