区分求積法

区分求積法からlim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}は∫(0->1)1/(1+x)dxでlog2
となるのは、分かりますが、
(1)lim(n->∞)(1/n)^2Σ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}は
　単純にlog2/nとして、0にはならないと思います。
　こんなことをしたら、区分求積法をわかっていないといわれてしまう
　と思います。これを正しく解くにはどうしたら良いでしょうか。
(2)lim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)*((k-1)/n)}も
　単純に(k-1)/nの部分をk/nとはできないと、思いますが、
　どうしたらよいでしょうか。
よろしく、お願いします。

　　　

No.1 ベストアンサー 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2011/07/20 13:11

lim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}＝log2

が理解出来ているのであれば（１）については

lim(n->∞)(1/n)^2Σ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}＝{lim(n→∞)1/n} lim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}

とするだけかと思いますが。

また（２）については、まずε＞0を任意に小さくとります。そして

1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)*((k-1)/n)}＝1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)^2 - k/n^2}

と変形します。nが十分に大きいとき、すべてのkに対して一様にk/n^2＜εとなることに注意すれば

1/{1+(k/n)^2} - ε≦ 1/{1+(k/n)^2 - k/n^2} ≦1/{1+(k/n)^2} + ε

が分かるので、両辺Σをとれば

{1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)^2} } - ε≦1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)^2 - k/n^2}
≦{1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)^2} }+ ε

となります。ここから厳密にやろうとすれば、左辺nについての下極限、右辺上極限をとって、両辺からlog2 ± εで挟んだ後にε↓0が常套手段でしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
２点について、教えてもらえればと思います。
(1)1/{1+(k/n)^2} - ε≦ 1/{1+(k/n)^2 - k/n^2} ≦1/{1+(k/n)^2} + εで、
　εの位置は、1/{1+(k/n)^2 - ε}のように何故分母でなくてよいのか。
(2)「左辺nについての下極限、右辺上極限をとって」の意味は、左辺の場合は、∫(0->1)1/(1+x^2)dx-ε
　　ということでしょうか。
よろしくお願いします。

お礼日時：2011/07/20 15:59

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/07/20 14:49

(1) は lim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)} = log 2 からはさむのが安全じゃないかなぁ. つまり

1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)} = log 2 + ε
として, n→∞ で ε→0 をつかってはさむ.
(2) はいろいろありそう. たとえば分母の
(k/n)*((k-1)/n) = [(k-1/2)/n]^2 - 1/(4n^2)
としてから
1/{1+(k/n)*((k-1)/n)} < 1/{1 + [(k-1/2)/n]^2} + 1/n^2
の「ような」形 (さいごの 1/n^2 があってるかどうかは知らんけど, まあこんな形) に変形してやるとか.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
(2)で、左辺は1/{1 + [(k-1/2)/n]^2} <1/{1+(k/n)*((k-1)/n)}としていいでしょうか。
n->∞のとき、右辺の1/n^2－＞０だから、求める値は∫1/(1+x^2)dxで挟まれることになるのでしようか。

お礼日時：2011/07/20 16:15

No.3 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2011/07/20 19:59

No1です。

補足についての回答です。

（２）についてはlog2と書きましたが間違いでご指摘の通りです。

（１）についてですが、簡単に1/{1+A+r}-1/{1+A}を計算してみると分かるはずです。

|1/{1+A+r} - 1/{1+A}|=r/{{1+A+r}{1+A}}

なので、A≧0,0<r<εのときを考えて評価すれば大丈夫だと思います。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/07/21 02:37

(2) の方,

「n->∞のとき、右辺の1/n^2－＞０だから」
の 1/n^2 はどこから出てきましたか?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
失礼しました。改めて考えてみると
その上の不等式も、何かよく分からないものでした。
もう一度、最初から、流れを追っていきます。

お礼日時：2011/07/21 08:24