区分求積法からlim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}は∫(0->1)1/(1+x)dxでlog2
となるのは、分かりますが、
(1)lim(n->∞)(1/n)^2Σ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}は
単純にlog2/nとして、0にはならないと思います。
こんなことをしたら、区分求積法をわかっていないといわれてしまう
と思います。これを正しく解くにはどうしたら良いでしょうか。
(2)lim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)*((k-1)/n)}も
単純に(k-1)/nの部分をk/nとはできないと、思いますが、
どうしたらよいでしょうか。
よろしく、お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
lim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}=log2
が理解出来ているのであれば(1)については
lim(n->∞)(1/n)^2Σ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}={lim(n→∞)1/n} lim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}
とするだけかと思いますが。
また(2)については、まずε>0を任意に小さくとります。そして
1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)*((k-1)/n)}=1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)^2 - k/n^2}
と変形します。nが十分に大きいとき、すべてのkに対して一様にk/n^2<εとなることに注意すれば
1/{1+(k/n)^2} - ε≦ 1/{1+(k/n)^2 - k/n^2} ≦1/{1+(k/n)^2} + ε
が分かるので、両辺Σをとれば
{1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)^2} } - ε≦1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)^2 - k/n^2}
≦{1/nΣ(k=0,n-1) 1/{1+(k/n)^2} }+ ε
となります。ここから厳密にやろうとすれば、左辺nについての下極限、右辺上極限をとって、両辺からlog2 ± εで挟んだ後にε↓0が常套手段でしょう。
回答ありがとうございます
2点について、教えてもらえればと思います。
(1)1/{1+(k/n)^2} - ε≦ 1/{1+(k/n)^2 - k/n^2} ≦1/{1+(k/n)^2} + εで、
εの位置は、1/{1+(k/n)^2 - ε}のように何故分母でなくてよいのか。
(2)「左辺nについての下極限、右辺上極限をとって」の意味は、左辺の場合は、∫(0->1)1/(1+x^2)dx-ε
ということでしょうか。
よろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
(1) は lim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)} = log 2 からはさむのが安全じゃないかなぁ. つまり
1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)} = log 2 + ε
として, n→∞ で ε→0 をつかってはさむ.
(2) はいろいろありそう. たとえば分母の
(k/n)*((k-1)/n) = [(k-1/2)/n]^2 - 1/(4n^2)
としてから
1/{1+(k/n)*((k-1)/n)} < 1/{1 + [(k-1/2)/n]^2} + 1/n^2
の「ような」形 (さいごの 1/n^2 があってるかどうかは知らんけど, まあこんな形) に変形してやるとか.
回答ありがとうございます
(2)で、左辺は1/{1 + [(k-1/2)/n]^2} <1/{1+(k/n)*((k-1)/n)}としていいでしょうか。
n->∞のとき、右辺の1/n^2->0だから、求める値は∫1/(1+x^2)dxで挟まれることになるのでしようか。
No.3
- 回答日時:
No1です。
補足についての回答です。(2)についてはlog2と書きましたが間違いでご指摘の通りです。
(1)についてですが、簡単に1/{1+A+r}-1/{1+A}を計算してみると分かるはずです。
|1/{1+A+r} - 1/{1+A}|=r/{{1+A+r}{1+A}}
なので、A≧0,0<r<εのときを考えて評価すれば大丈夫だと思います。
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