ドップラー効果による周波数変化

ドップラー効果による周波数変化の式
fr = (1-2v/c)f0
の導出方法が分かりません。
どなたかお教えいただければと思います。
よろしく御願いします。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/08/03 18:44

肝心のところが違ってました。

fr = (t2-t2)/(t2'-t1')*f = (c-v)/(c+v)*f ≒ (1 - 2v/c)*f

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/08/03 17:25

補足のようにレーダーのドップラー効果だとすると、

送受信機が同じ慣性系なので相対論は不要になります。

時刻t1, t2 に発射した光が返ってくる時刻t1', t2' は、
物体が v で遠ざかっていて、時刻t1 の時 a の距離にいるとすると

Δt1 = (t1'-t1)/2 = (a+vΔt1)/c ⇒Δt1 = a/(c-v)
同様に
Δt2 = (t2'-t2)/2 = (a+v(t2-t1)+vΔt2)/c ⇒Δt2 = (a+v(t2-t1))/(c-v)

t2' - t1' = t2-t1 + 2Δt2 - 2Δt1 = (c+v)/(c-v)(t2-t1)

t1～t2 間の発射した光の振動回数は、t1'～t2'に戻ってきた光の
振動回数と同じはずなので

fr = (t2-t2)/(t2'-t1')*f = (c-v)/(c+v)*f ≒ (c - 2v/c)*f

やっぱり近似式みたいですね。

この回答へのお礼

やはり近似式でしたか。
ご協力感謝します。

お礼日時：2011/08/06 03:00

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/08/03 15:04

2 ってどこから出てきたんでしょうね？

光の縦ドップラー効果は sqrt((1-v/c)/(1+v/c))*f ≒ (1 - v/c)*f (v << c で赤方偏移の場合)

です。詳細は各種相対論のサイトを見てください。
http://www.gem.hi-ho.ne.jp/katsu-san/audio/doppl …
http://www.is.oit.ac.jp/~shinkai/seminar/thesis/ …
http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/rel …

この回答への補足

説明不足かもしれません。お詫びして補足します。

tknakamuriさんのおっしゃった場合の条件はおそらく、
----------------------------------------------------------------------------
発信周波数をf0、受信周波数をf、発信源と観測者間の距離の時間変化率（相対速度）をv（遠ざかるときを正とする）、光速をcとすると、
　f＝f0（1-v／c）
ではないかと思います。
-----------------------------------------------------------------------------
題意では、単純な光のドップラーではなく、「レーダによって、運動する物体からの反射波を受信するとき」に起こるドップラー効果です。このときにはレーダと物体の間の相対速度をvとして、
　f＝f0（1-2v／c）
である。

とあります。
ほかの参考書などを見る限り、どちらの式も存在することは間違いないようです。
ただどこにもその導出方法がないので思案に詰まっていました。

補足日時：2011/08/03 15:30

No.1 回答者： fjnobu 回答日時： 2011/08/03 10:28

この式は、光速で進むときの式ですね。

ただ、この式は間違っていませんか？よく見てください。すれ違った時の瞬間の式ですか？
ｃは光速、ｖは移動体の相対速度（観測者と放射物体の速度）、ｆ０は放射周波数たとえば黄色の光の周波数、ｆｒは観測者の見た周波数で赤になっているとか、青になっているとかで移動体の速度がわかります。
音の場合なら、音速と音の周波数になります。