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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
いろんな方法が考えられる。
いずれにしても、2倍角は必要のようだ。条件式は、2倍角を使うと、3-cos2θ+a・sin2θ=0 である。
(解法-1)
tanθ=αとすると、0≦α≦1 で cos2θ=(1-α^2)/(1+α^2)、sin2θ=(2α)/(1+α^2)だから ← これは教科書に載ってるはず これを代入して整理すると。
2α^2+aα+1=0 が 0≦α≦1に異なる2つの解を持つ条件を求める。(tanθとαは0゜≦θ≦45°で1対1に対応する。)
方程式の 解の配置で考えても良いし、2α^2+1=-aαとして、y=2α^2+1 と y=-aαが0≦α≦1に異なる2つの解を持つ条件をグラフから求めても良い。
(解法-2)こっちの方法が、お勧めなんだが。
3-cos2θ+a・sin2θ=0 において、cos2θ=β、sin2θ=α とすると、α^2+β^2=1、α≧0、β≧0 ‥‥(1) の条件で、直線:β=a・α+3 が2つの異なる交点を持つ条件を求める。
(1)をαβ平面上に図示して、直線:β=a・α+3 の傾きaの値の範囲を定めるだけ。
これのほうが、視覚的にミスを防げるし、分かりやすいだろう。
答えは、どちらの解法でも(当然だが) -3≦a<-2√2 になる。
この回答へのお礼
お礼日時:2011/09/13 21:19
ありがとうございます
よくわかりました
学校で解答をもらったところ
f(θ)=(sinθ)^2+ a・sinθ・cosθ+1=0
の両辺に 1/cos^2θをかけて
tanの式で求めるように書いてあったのですが
こっちの方がわかりやすいですね
No.2
- 回答日時:
asinθcosθ=-1-sin^2θ
a/2sin2θ=-1-1/2+1/2(1-2sin^2θ)
=-3/2+1/2cos2θ
asin2θ-cos2θ=-3
√(a^2+1)sin(2θ-φ)=-3 (φはsinφ=-1/√(a^2+1),cosφ=a/√(a^2+1)なるφ)
よって-1<=-3/√(a^2+1)<=1をaは満たすが
一方でθの範囲内に二つの解を持たなければならないから
2θ-φ<=π/2<=2θ-φ+π/2かつsin(2θ-φ+π/2)=cos(2θ-φ)<=sin(2θ-φ)=-3/√(a^2+1)
または
2θ-φ<=-π/2<=2θ-φ+π/2かつsin(2θ-φ+π/2)=cos(2θ-φ)>=sin(2θ-φ)=-3/√(a^2+1)
sin(2θ-φ)が負より後者しかなく
cos(2θ-φ)=-√(a^2-8)/√(a^2+1)で
-√(a^2-8)/√(a^2+1)>=-3/√(a^2+1)
…
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