大学の物理で出された問題についてです。
微分方程式自体がわからなくて、解き方がさっぱりわかりません
どなたかヒントでも解法でもいいので教えてください。
よろしくお願いします。
以下問題です。
----------------------------
質量mの物体がx軸上を運動しており、物体の速度vは、
m dv/dx + v = 0 ・・・(*)
で与えられている。次の問いに答えよ。
(1) 微分方程式(*)から速度 v(t) = dx(t)/dt を求めよ。
(2) t = 0 のとき、x = 0, v = v' として x(t) を求めよ。
(3) 微分方程式(*)で表されるような物理現象の例を一つあげ、簡単に説明せよ。
-----------------------------
(1)から解けませんでした。
(3)の問題を解けるような、(*)で表される運動のイメージもつかめず、困っています・・・
返答お待ちしています。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
m dv/dx + v = 0 ・・・(*)
(1)
特性方程式は
ms+1=0
m>0と考えられるから
s=-1/m
∴v(t)=Ce^(-t/m), Cは任意定数。
(2)
(1)から
v(t)=dx(t)/dt=Ce^(-t/m) …(A)
x(t)=-mCe^(-t/m)+C1 …(B)
>t=0 のとき、x = 0, v = v'
なので(A),(B)に代入
v'=C
0=-mC+C1
∴C=v',C1=mv'
(B)に代入
∴x(t)=mv'{1-e^(-t/m)}
(3)
自分で考えて見てください。
No.1
- 回答日時:
m dv/dx + v = 0
のままだと見当が付き難いかも知れませんが、次のように変形してみると良いでしょう。
全体に dx/dt を掛けてみるのです。
m・(dv/dx)・(dx/dt)+v・(dx/dt)=0
第1項は、dx が"約分"されて m・(dv/dt)=m・(d^2x/dt^2)
第2項は、dx/dt自体がvですから、 v^2 となります。かくして
m・(d^2x/dt^2)=-v^2
これを解釈すると、左辺は 質量・加速度 ですから、物体に働く力です。右辺はその力がv^2に比例する大きさで、vの方向に対して逆向きに働く力(いわゆる慣性抵抗の類)だということがわかるはずです。
微分方程式を解くこと自体は難しくはないです。
dx/dt=v として
d^2x/dt^2=d(dx/dt)/dt=dv/dt となりますから
dv/dt=-(1/m)v^2 と変形できます。さらに
dv/(v^2)=-(1/m)・dt と、変数分離できてしまいました。
辺々を積分して
-(1/v)=-(1/m)t+C Cは積分定数
∴ v(t)=…
t=0で、v=v' ですから C=-(1/v')
これを使って v(t)=… と書けます。
改めて
v(t)=dx/dt
として、更に積分を実行すれば、
x(t)が求まるでしょう。
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