No.4ベストアンサー
- 回答日時:
座標(グラフ)の問題でも、図形(幾何)的な考え方を活用したほうが、計算だけで解くより解答の見通しがよくなります。
この問題では、与えられた2点AとBを通る円が、直線y=xと接するとき、(第1象限側の)その接点をPとすると角APBが求める最大値になります。
2点A(0,1)、B(0,2)を通る円を考えます。その半径が最小の円はA,Bを直径の両端とする半径0.5の円(中心がy軸上)ですがこれは点Pがその上にあるy=xと交点を持ちません。2点A(0,1)、B(0,2)を通る円の中心はこの線分ABの垂直2等分線であるy=1.5上にありますが、円の半径を大きくするにつれて、円の中心はxが正の方向へy軸から遠ざかり、円の中心からAとBを見込む角が小さくなってゆくとともに、円が直線y=xに接近してゆきます。
そして、円の中心がある位置(添付した図のC)に達したときに円が直線y=xに点Pで接します。円の中心をさらにy軸から遠ざけますと(図のD)、円は直線y=xと2つの交点を持ちます(図のQとR)。∠APB=θ、∠AQB=∠ARB=θ’としますと円周角と中心角の関係から、∠ACB=2θ、∠ADB=2θ’であり、明らかに∠ACD>∠ADBなので、θ>θ’です。つまり2点AとBを通る円が、直線y=xと接するとき、(第1象限側の)その接点をPとすると∠APBが求める最大値です。
C(c,1.5) P(x,x)とおくと、
題意を満たす円の式は (x-c)^2+(y-1.5)^2=0.5^2+c^2
接点Pはy=xを満たすので、これを代入して整理すると
2x^2-(2c+3)x+2=0 …(1)
この方程式は重解を持つので 判別式=0
(2c+3)^2-4*2*2=0
4c^2+12c-7=0
(2c-1)(2c+7)=0
c=0.5 またはc=-3.5
このうち第1象限で接するのはc=0.5のとき
(1)へ代入して整理すると
x^2-2x+1=0 (x-1)^2=1 したがってx=1、y=1
このとき3角形APBはAB=AP=1 ∠BAP=90度の直角2等辺3角形になるので
∠APB=45度 これが最大値となります。
なお、c=-3.5の場合は問題にあるxは正の実数という条件を満たしませんが、 円の中心が第2象限にある大きな円が直線y=xに接する場合です。|-3.5|>0.5なので明らかにc=0.5の場合と比較して∠APBが小さくなり、仮にx<0の場合が許されるとしても最大値を与えません。
No.3
- 回答日時:
△ABPの外接円の中心をC(X,Y)とします。
円周角の定理から
∠APB~(1/2)*∠ACB
となります。つまりは∠ACBの最大値を求めればよいことになります。
△ABCはCA=CBの二等辺三角形であり、ABの長さが固定ですので∠ACBを最大にするにはCA=CBを最小にすればよいことがわかります。そのためのX,Yの条件を考えます。
まず、CはABの垂直二等分線上の点ですのでY=3/2であることがわかります。
CA=CPの条件から
X^2+(3/2-1)^2=(X-x)^2+(3/2-x)^2
となります。これを整理すると
2xX-2x^2+3x-2=0
X=x-3/2+1/x
Xの絶対値の最小値を求めればよいのですが、これはx>0と仮定して相加平均≧相乗平均の関係を使うと簡単に得られるでしょう。もちろんx<0の場合も考えないといけませんが、確認すればわかりますが、これはx>0の場合よりも必ず絶対値が大きくなります。
角度を求めるには余弦定理を使うなり、得られた△ABCの形を考えるなりすればよいでしょう。
No.2
- 回答日時:
P(α、α)α>0とする。
A(0, 1), B(0, 2), だから、直線PAの傾きは (α-1)/α=m、直線PBの傾きは (α-2)/α=n。
∠APB=θ 0<θ<π/2 とすると、tanθの加法定理から、tanθ=|(m-n)/(1+mn)|=|(α)/(2α^2-3α+2)|=(α)/(2α^2-3α+2)となる。何故なら、α>0、2α^2-3α+2>0。
又、tanθは 0<θ<π/2 で単調増加関数から、(α)/(2α^2-3α+2)の最大値を考えると良い。
(α)/(2α^2-3α+2)=k ‥‥(1) とすると、分母を払うとαの2次方程式になるが、αが実数から判別式≧0
実際に計算すると、k≦1 だから最大値は1で そのとき(1)から α=1. tanθ=1で 0<θ<π/2 だから、θ=π/4.
No.1
- 回答日時:
∠APB=θとおくと
0<θ<π …(1)
余弦定理より
cosθ={x^2+(x-1)^2+x^2+(x-2)^2-1^2}/[2√{x^2+(x-1)^2}√{x^2+(x-2)^2}]
=(2x^2-3x+2)/√{2(2x^2-2x+1)(x^2-2x+2)} …(2)
(1)を満たすθに対しcosθは単調減少関数なので、
cosθが最小値をとるときθは最大になります。
(2)の分子=2{x^2-(3/2)x}+2=2{x-(3/4)}^2+7/8>0なので cosθ>0
(1)より 0<θ<π/2 …(3)
(3)の範囲のθに対して(2)の両辺は正なので2乗しても同値となる。
したがって、
f(x)={(2x^2-3x+2)^2}/{2(2x^2-2x+1)(x^2-2x+2)}
の増減表を作りf(x)の最小値を求めてやれば良い。
これは自力でやってみて下さい。
x=1でf(x)は最小値をとることが出てきますので
cosθの最小値=√f(1)=1/√2
θの最大値=π/4
となります。
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