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一様に帯電した球殻が、その外部にある荷電粒子に及ぼす反発力あるいは引力は、球殻上のすべての電荷が球殻の中心に集まった時の力に等しい。

これの証明できるかたいますか?

よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

ガウスの法則を使わないで証明しようということと理解しました。

考え方自体は単純です。
クーロンの法則を使って直接、静電気力を求めれば良いのです。
 
方針:球殻上の微小部分Aから受ける力dfをクーロンの法則から求め、この力を面全体にわたって積分する。
 
Aの面積dSは
dS=(R・dθ)・(R・sinθ・dδ)
=R^2・sinθ・dθ・dδ
これが持つ電荷dqは、電荷密度をσとすると
dq=σ・dS=σ・R^2・sinθ・dθ・dδ

距離AP=√{(AT^2)+(PT^2)}
=√{(R・sinθ)^2+(L-R・cosθ)^2}
cosφ=PT/AP
=(L-R・cosθ)/√{(AT^2)+(PT^2)}
 
P点にある電荷Qが、Aから受ける静電気力dfは
df=k・Q・dq/(AP^2)
(kは、クーロンの法則の定数)

dfを面全体にわたって積分すると、対称性から、dfのz方向成分だけが残るはず。
df_z=df・cosφ
 
以上から
df_z=k・Q・dq/(AP^2)・cosφ
=k・Q・(σ・R^2・sinθ・dθ・dδ)/((AT^2)+(PT^2))・(L-R・cosθ)/√{(AT^2)+(PT^2)}
これを、δ:0~2π、θ:0~πに渡って積分すれば良いわけです。

k・Q・σ・R^2・2π・(L-R・cosθ)・sinθ/({(R・sinθ)^2+(L-R・cosθ)^2}^(3/2))

球殻全体の電荷Q'=4πR^2・σなので

F_z=(kQ・Q'/2)・(L-R・cosθ)・sinθ/({(R・sinθ)^2+(L-R・cosθ)^2}^(3/2))

また
(R・sinθ)^2+(L-R・cosθ)^2
=R^2+L^2-2RL・cosθ

∴球殻全体にわたって積分すると
F=(kQ・Q'/2)・∫(L-R・cosθ)・sinθ・dθ/({R^2+L^2-2RL・cosθ}^(3/2))
[θ:0~π]

R^2+L^2-2RL・cosθ=t と置いて積分すると良いでしょう。

2RL・sinθ・dθ=dt

t=R^2-L^2+2(L^2-RL・cosθ)
=R^2-L^2+2L(L-R・cosθ)
より
(L-R・cosθ)=(t-R^2+L^2)/2L

積分範囲は t:[(R-L)^2~(R+L)^2]

ここまで変形してくると、単純な積分になりますから、あとは、積分を実行して見れば良いでしょう。
見事にRが消えてしまい、分母にL^2が残ることがわかると思います。
「電荷の証明問題」の回答画像1
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
無事に解決することができました。

お礼日時:2011/10/09 14:01

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